數學永恆定理/德摩根定律

德摩根定律是邏輯和集合論中的一個基本原理。它在應用否定(NOT)時，建立了邏輯運算子'AND'和'OR'之間的有用關係。德摩根定律有兩種主要形式，被稱為德摩根第一定律和德摩根第二定律。這些定律指出：

1. 析取的否定是各否定合取，$(A\cup B)'=A'\cap B'$
2. 合取的否定是各否定析取，$(A\cap B)'=A'\cup B'$

證明

集合的德摩根定律$A$ 和 $B$

令 $A$ 和 $B$ 是兩個集合。德摩根第一定律指出，$A$ 和 $B$ 集合的並集的補集與$A$ 和 $B$ 補集的交集相同。也就是說，$(A\cup B)'=A'\cap B'$，或 ${\overline {(A\cdot B)}}=({\overline {A}}+{\overline {B}})$。德摩根第二定律指出，$A$ 和 $B$ 集合的交集的補集與它們的補集的並集相同，$(A\cap B)'=A'\cup B'$，或 ${\overline {(A+B)}}=({\overline {A}}\cdot {\overline {B}})$.

德摩根第一定律

假設 $x\in (A\cup B)'$。然後 $x\not \in A\cup B$。

$\implies x\not \in A$ 並且 $x\not \in B$

$\implies x\in A'$ 並且 $x\in B'$

$\implies x\in (A'\cap B')$

$\therefore (A\cup B)'\subseteq (A'\cap B')$

再次，令，$x\in (A'\cap B')$。然後，$x\in A'$ 並且 $x\in B'$

$\implies x\not \in A$ 並且 $x\not \in B$

$\implies x\not \in A\cup B$.

$\implies x\in (A\cup B)'$

$\therefore (A'\cap B')\subseteq (A\cup B)'$

因此，$(A\cap B)'=A'\cup B'$ [已證明]

德摩根第二定律

假設 $x\in (A\cap B)'$。然後 $x\not \in A\cap B$。

如果 $\implies x\not \in A$ 或 $x\not \in B$

那麼 $\implies x\in A'$ 或 $x\in B'$

因此 $\implies x\in (A'\cup B')$

$\therefore (A\cap B)'\subseteq (A'\cup B')$

再次，假設 $x\in (A'\cup B')$。那麼 $x\in A'$ 或 $x\in B'$

如果 $\implies x\not \in A$ 或 $x\not \in B$

因此 $\implies x\not \in A\cap B$.

因此 $\implies x\in (A\cap B)'$

$\therefore (A'\cup B')\subseteq (A\cap B)'$

因此，$(A\cap B)'=A'\cup B'$ [已證明]