數學永恆定理/介值定理

介值定理是微積分中的一個基本定理。該定理指出，如果一個函式 $f(x)$ 在閉區間 $[a,b],$ 上是連續的，那麼對於任何在 $(f(a)$ 和 $f(b),$ 之間定義的任何值 $y$ ，都至少存在一個值 $c\in (a,b)$ 使得 $f(c)=y$ 。

介值定理：f(x) 在 [a, b] 上是連續的，存在至少一個定義在 (a, b) 上的值 c，使得 f(c) = y。

證明

陳述：如果一個函式 $f$ 在 $[a,b],$ 上是連續的，那麼對於任何在 $f(a)$ 和 $f(b),$ 之間的每個 $y$ ，都至少存在一個值 $c\in (a,b)$ 使得 $f(c)=y$ 。

證明：假設 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的連續函式，並且 $f(a)<f(b).$

考慮一個函式 $g(x)=f(x)-y.$ 定義 $g(x)$ 的目的是研究 $f(x)$ 相對於值 $y$ 的行為。

由於$f$ 在$[a,b]$ 上連續，而$y$ 是一個常數，$g(x)=f(x)-y$ 也是在$[a,b],$ 上連續，因為兩個連續函式的差是連續的。

現在，$f(a)<y$ [因為$c\in (a,b)$ 並且$y=f(c)$]

或者，$f(a)-y<0$

$\therefore g(a)<0$

同理，$g(b)>0$

由於$g(x)$ 是連續的，並且$g(a)$ 定義在$x$ 軸下方，而$g(b)$ 定義在$x$ 軸上方，因此在區間$[a,b]$ 中至少存在一個點$c$，使得$g(c)=0$。

因此，在點 $c$，$g(c)=f(c)-y=0\implies f(c)=y$

∴ 存在至少一個點 $c$ 在區間 $[a,b]$ 中，使得 $f(c)=y.$ [已證明]