數學永恆定理/中點定理

中點定理是幾何學中的一個基本概念，它建立了三角形邊中點之間的關係。這個定理指出，當你連線三角形兩邊的中點時，得到的線段平行於第三邊。此外，這條線段的長度恰好是第三邊長度的一半。

證明

陳述

在一個三角形中，如果一條線段連線兩邊的中點，那麼這條線段平行於第三邊，並且是其長度的一半。

利用全等三角形證明

命題：令 $D$ 和 $E$ 是三角形 $ABC$ 中 $AC$ 和 $BC$ 的中點。需要證明的是：

$DE\parallel AB$ 以及；
$DE={\frac {1}{2}}AB$ .

作圖：新增 $D$ 和 $E$ ，將 $DE$ 延長到 $F$ ，使得 $EF=DE$ ，然後新增 $B$ 和 $F$ 。

證明：[1] 在三角形 $\Delta CDE$ 和 $\Delta EBF,$

$CE=BE$ ; [已知]

$DE=EF$ ; [根據作圖]

$\angle CED=\angle AEF$ ; [對頂角]

∴ $\Delta CDE\cong \Delta EBF$ ; [邊角邊定理]

所以， $\angle CDE=\angle BFE$

∴ $CD\parallel BF$

或者， $AD\parallel BF$ 並且 $CD=BF=DA$

因此， $ADFB$ 是一個平行四邊形。

∴ $DF\parallel AB$ 或者 $DE\parallel AB$

[2] $DF=AB$

或者 $DE+EF=AB$

或者， $DE+DE=AB$ [因為， $\Delta CDE\cong \Delta EBF$ ]

或者， $2DE=AB$

或者， $DE={\frac {1}{2}}AB$

∴ 在三角形 $\Delta ABC,$ 中， $DE\parallel AB$ 且 $DE={\frac {1}{2}}AB$ ，其中 $D$ 和 $E$ 分別是 $AC$ 和 $BC$ 的中點。 [已證]

利用座標幾何證明

命題： 設 $D$ 和 $E$ 分別是三角形 $ABC$ 中 $AC$ 和 $AB$ 的中點，其中 $A,B,C$ 的座標分別為 $A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),C(x_{3},y_{3})$ 。需要證明，

$DE={\frac {1}{2}}BC$ 且
$DE\parallel BC$

證明： [1] 線段 $BC={\sqrt {(x_{3}-x_{2})^{2}+(y_{3}-y_{2})^{2}}}$ 的長度

點 $A(x_{1},y_{1})$ 和 $C(x_{3},y_{3})$ 的中點是 $D({\frac {x_{1}+x_{3}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{3}}{2}})$ 。

同理，點 $A(x_{1},y_{1})$ 和 $B(x_{2},y_{2})$ 的中點是 $E({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}})$

∴ 線段 $DE={\sqrt {({\frac {x_{1}+x_{3}}{2}}-{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}})^{2}+({\frac {y_{1}+y_{3}}{2}}-{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}})^{2}}}$ 的長度為

$={\sqrt {({\frac {x_{1}+x_{3}-x_{1}-x_{2}}{2}})^{2}+({\frac {y_{1}+y_{3}-y_{1}-y_{2}}{2}})^{2}}}$

$={\sqrt {{\frac {(x_{3}-x_{2})^{2}}{4}}+{\frac {(y_{3}-y_{2})^{2}}{4}}}}$

$={\sqrt {\frac {(x_{3}-x_{2})^{2}+(y_{3}-y_{2})^{2}}{4}}}$

$={\frac {\sqrt {(x_{3}-x_{2})^{2}+(y_{3}-y_{2})^{2}}}{2}}$

$={\frac {1}{2}}BC$ ; [因為， $BC={\sqrt {(x_{3}-x_{2})^{2}+(y_{3}-y_{2})^{2}}}$ ]

[2] 線段 $BC,$ 的斜率為 $m_{1}={\frac {y_{2}-y_{3}}{x_{2}-x_{3}}}$

線段 $DE,$ 的斜率為 $m_{2}={\frac {{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}-{\frac {y_{1}+y_{3}}{2}}}{{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}-{\frac {x_{1}+x_{3}}{2}}}}$ $={\frac {\frac {y_{1}+y_{2}-y_{1}-y_{3}}{2}}{\frac {x_{1}+x_{2}-x_{1}-x_{3}}{2}}}$ $={\frac {\frac {y_{2}-y_{3}}{2}}{\frac {x_{2}-x_{3}}{2}}}$ $={\frac {y_{2}-y_{3}}{x_{2}-x_{3}}}$ $=m_{1}$ ; [因為， $m_{1}={\frac {y_{2}-y_{3}}{x_{2}-x_{3}}}$ ]

因此， $DE\parallel BC$

∴ 在三角形 $\Delta ABC,$ 中， $DE\parallel BC$ 且 $DE={\frac {1}{2}}BC$ ，其中 $D$ 和 $E$ 分別是 $AC$ 和 $AB$ 的中點。[已證明]