數學永恆定理/拿破崙定理

$\Delta LMN$ 是一個等邊三角形

拿破崙定理指出，如果在一個三角形的邊上構建等邊三角形，無論是全部向外還是全部向內，連線這些等邊三角形中心的直線本身會形成一個等邊三角形。這意味著，對於一個三角形 $\Delta ABC$，如果在三角形的邊上構建三個等邊三角形，比如 $\Delta ACM$，$\Delta BCX$ 和 $\Delta ABZ$，無論是全部向外還是全部向內，連線三個三角形中心的三個直線，$ML$，$LN$ 和 $MN$ 會構成一個等邊三角形 $LMN$.

證明

一個關於拿破崙定理的三角證明。

設 $\Delta ABC$ 為一個三角形。在此，我們構造了三個等邊三角形，$\Delta BCE$, $\Delta ABD$ 和 $\Delta ACF$，三角形的重心分別為 $P$, $Q$ 和 $R$。這裡，$AC=b$, $AB=c$, $BC=a$, $PQ=r$, $PR=q$ 和 $QR=p$。因此，三角形 $\Delta ABC$ 的面積 $T={\frac {1}{2}}bc\cdot \sin A$ $\Rightarrow bc\cdot \sin A=2T$

為了證明，我們將使用一個等邊三角形，因為三個三角形相似（等邊）。$\Delta ACF$ 的中線是 $AG=(m+k)$，其中 $AR=m$ 且 $RG=k$。 $AQ=n$，並且由於 $\Delta ACF$ 是一個等邊三角形，$\angle AGC=90^{\circ }$。

這裡，$m+k={\frac {b{\sqrt {3}}}{2}}$。由於三角形的重心將三角形的中線按 $1:2$ 的比例分割，因此 $m={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {b{\sqrt {3}}}{2}}$ $={\frac {b}{\sqrt {3}}}$。類似地，$n={\frac {c}{\sqrt {3}}}$。

根據餘弦定理，$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos A$（對於 $\Delta ABC$）以及對於 $\Delta AQR$，$p^{2}=m^{2}+n^{2}-2mn\cdot \cos(A+60^{\circ })$

$=({\frac {b}{\sqrt {3}}})^{2}+({\frac {c}{\sqrt {3}}})^{2}-2{\frac {b}{\sqrt {3}}}\cdot {\frac {c}{\sqrt {3}}}\cdot \cos(A+60^{\circ })$

$={\frac {b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos(A+60^{\circ })}{3}}$

$={\frac {b^{2}+c^{2}-2bc(\cos A\cdot cos60^{\circ }-\sin A\cdot \sin 60^{\circ })}{3}}$

$={\frac {b^{2}+c^{2}-2bc(\cos A\cdot {\frac {1}{2}}-\sin A\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}})}{3}}$

$={\frac {b^{2}+c^{2}-bc(\cos A\cdot -\sin A\cdot {\sqrt {3}})}{3}}$

$={\frac {b^{2}+c^{2}-bc\cos A\cdot -2T{\sqrt {3}})}{3}}$

$={\frac {a^{2}+2bc\cos A-bc\cos A-2T{\sqrt {3}})}{3}}$ [根據三角形ABC的餘弦定理]

$={\frac {a^{2}+bc\cos A-2T{\sqrt {3}})}{3}}$

$={\frac {a^{2}+{\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2}}-2T{\sqrt {3}})}{3}}$

$={\frac {\frac {b^{2}+c^{2}+a^{2}-4T{\sqrt {3}}}{2}}{3}}$

因此，$p={\sqrt {{\frac {1}{6}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}-4T{\sqrt {3}})}}$

同理，我們可以證明，$q={\sqrt {{\frac {1}{6}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}-4T{\sqrt {3}})}}$ 和 $r={\sqrt {{\frac {1}{6}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}-4T{\sqrt {3}})}}$。因此，$p=q=r$.

$\therefore \Delta PQR$ 是一個等邊三角形。[證明完畢]