數學永恆定理/多項式餘數定理

多項式餘數定理是多項式歐幾里得除法的應用。它是代數中最基本和最流行的定理之一。它指出，多項式$P(x)$被線性多項式$(x-r)$除後的餘數等於$P(r)$.

示例

示例 1

證明多項式$f(x)=x^{2}-2x+2$被線性多項式$(x-1)$除後的餘數等於$f(1)$。解 : 用以下方法將$f(x)=x^{2}-2x+2$除以$(x-1)$。

x - 1 ) x^2 - 2x + 2 ( x - 1
        x^2 - x
        ------------
            - x + 2
            - x + 1
        ------------
                  1

由於$f(1)=1^{2}-2(1)+2=1$，因此餘數等於$f(1)$.

示例 2

證明多項式$F(x)=ax^{2}+bx+c$被線性多項式$(x-m)$除後的餘數等於$F(m)$。解 : 用以下方法將$F(x)=ax^{2}+bx+c$除以$(x-m)$。

x-m ) ax^2+bx+c ( ax+am+b
      ax^2-amx
      ------------------
           amx+bx+c
           amx     -am^2
      ------------------
               bx+c+am^2
               bx-bm
      ------------------
               am^2+bm+c

由於，$f(m)=am^{2}+bm+c$，因此餘數$am^{2}+bm+c$ 等於 $f(m)$。

證明

命題

如果$P(x)$ 是一個正次多項式，並且 $a$ 是任何確定數字，則 $P(x)$ 除以 $(x-a)$ 的餘數將是 $P(a)$

證明

一個正次多項式 $P(x)$ 除以 $(x-a)$ 的餘數要麼是 0，要麼是一個非零常數。假設餘數是 $R$，商式是 $Q(x)$。那麼，對於 $x$ 的每一個值，

$P(x)=(x-a)$·$Q(x)+R....(i)$

將 $x=a$ 代入方程 $(i)$，我們得到 $P(a)=0$ · $Q(a)+R=R$。因此，$P(x)$ ÷$(x-a)$ 的餘數等於 $P(a)$。