數學永恆定理/勾股定理

勾股定理是歐幾里得幾何中直角三角形三邊之間的基本關係。它指出，直角三角形斜邊的平方等於另兩條邊的平方和。^[1]

在這個直角三角形中，根據勾股定理，$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

該定理以希臘哲學家畢達哥拉斯（公元前570年 - 公元前495年）的名字命名。但是，埃及人和巴比倫人早在畢達哥拉斯之前1500年就瞭解了勾股定理的版本。

證明

陳述

在直角三角形中，斜邊上的正方形等於另外兩條邊上的正方形之和。

藉助兩個直角三角形證明

命題：在三角形$ABC,\angle B=90$°中，斜邊$AC=b,$ $AB=c$ 以及 $BC=a$。需要證明$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2},$ 即$b^{2}=c^{2}+a^{2}$.

作圖：將$BC$延長到$D$，使得$CD=AB=c$。另外，在$D$點作延長線$BC$的垂線$DE$，使得$DE=BC=a$。連線$C,E$ 和 $A,E$.

詹姆斯·A·加菲爾德用梯形證明勾股定理

證明 : 在 $\Delta ABC$ 和 $\Delta CDE$ 中，$AB=CD=c,BC=DE=a$，且夾角 $\angle ABC$ = 夾角 $\angle CDE$ [因為 $\angle ABC=\angle CDE=90$°]

因此，$\Delta ABC\cong \Delta CDR$. [邊角邊定理]

∴$AC=CE=b$，且 $\angle BAC=\angle ECD$.

再者，由於 $AB\perp BD$ 且 $ED\perp BD,AB\parallel ED$。因此，$ABDE$ 是一個梯形。

$\angle ABC+\angle BAC+\angle ACB=180$°

即，$90$°$+\angle BAC+\angle ACB=180$°

即，$\angle BAC+\angle ACB=90$°

即，$\angle RCD+\angle ACB=90$° [因為 $\angle BAC=\angle ECD$]

再者，$\angle BCD=180$°

或者，$\angle BCA+\angle ACE+\angle ECD=180$°

或者 $\angle ACE=90$°

∴$\Delta ACE$ 是一個直角三角形。

現在，梯形 $ABDE=\Delta ABC+\Delta CDE+\Delta ACE$

或者，${\frac {1}{2}}BD(AB+DE)={\frac {1}{2}}(AB)(BC)+{\frac {1}{2}}(CD)(DE)+{\frac {1}{2}}(AC)(CE)$

或者，${\frac {1}{2}}(a+c)(c+a)={\frac {1}{2}}ac+{\frac {1}{2}}ac+{\frac {1}{2}}b^{2}$

或者，${\frac {1}{2}}(a+c)^{2}={\frac {1}{2}}(2ac+b^{2})$

或者，$(a+c)^{2}=(2ac+b^{2})$

或者，$a^{2}+2ac+c^{2}=2ac+b^{2}$

或者，$b^{2}=a^{2}+c^{2}$ [證畢]

[注意：美國第 12 任總統詹姆斯·A·加菲爾德在兩個直角三角形的幫助下證明了勾股定理。他證明勾股定理的論文發表在 1876 年 4 月 1 日的《新英格蘭教育雜誌》第 161 頁上]

藉助代數證明

命題：設在三角形 $c$ 是斜邊，$a,b$ 是其他兩條邊。需要證明的是，$c^{2}=a^{2}+b^{2}$.

勾股定理的代數證明

作圖：如圖所示，畫出四個與 $\Delta ABC$ 全等的三角形。

證明： 圖中的大正方形面積為$(a+b)^{2}$ [因為每條邊的長度都相同，$(a+b)$，且每個角都是直角]。

小四邊形的面積為$c^{2}$，因為該形狀是正方形。 [因為每條邊都是$c$，並且四邊形的每個角都是直角（利用兩個直角三角形證明）]。

根據圖形，$(a+b)^{2}=4({\frac {1}{2}}ab)+c^{2}$

即 $a^{2}+2ab+b^{2}=2ab+c^{2}$

即 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ [得證]