數學永恆定理/有理根定理

有理根定理指出，如果一個有理數${\frac {p}{q}}$（其中$p$和$q$互質）是具有整數係數的多項式的根，則$p$是常數項的因子，$q$是最高次項係數的因子。換句話說，對於多項式$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_{0}$，如果$P\left({\frac {p}{q}}\right)=0$（其中$a_{i}\in \mathbb {Z}$且$a_{0},a_{n}\neq 0$），則${\frac {a_{0}}{p}}\in \mathbb {Z}$且${\frac {a_{n}}{q}}\in \mathbb {Z}$

證明

令$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_{0}$，其中$a_{i}\in \mathbb {Z}$。

假設對於互質的 $p,q\in \mathbb {Z}$，$P({\frac {p}{q}})=0$。因此，$P({\frac {p}{q}})=a_{n}({\frac {p}{q}})^{n}+a_{n-1}({\frac {p}{q}})^{n-1}+a_{n-2}({\frac {p}{q}})^{n-2}+...+a_{1}({\frac {p}{q}})+a_{0}=0$ $\Rightarrow a_{n}p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}q+a_{n-2}p^{n-2}q^{2}+...+a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n}=0$ $\Rightarrow p(a_{n}p^{n}-1+a_{n-1}p^{n-2}q+a_{n-3}p^{n-2}q^{2}+...+a_{1}q^{n-1})=-a_{0}q^{n}$

令 $w=a_{n}p^{n}-1+a_{n-1}p^{n-2}q+a_{n-3}p^{n-2}q^{2}+...+a_{1}q^{n-1}\in \mathbb {Z}$

因此，$w=-{\frac {a_{0}q^{n}}{p}}$

由於 $p$ 與 $q$ 互質，且 $w\in \mathbb {Z} .$，因此 ${\frac {a_{0}}{p}}\in \mathbb {Z}$.

再次，$a_{n}p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}q+a_{n-2}p^{n-2}q^{2}+...+a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n}=0$ $\Rightarrow q(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}p^{n-2}q+...+a_{1}pq^{n-2}+a_{0}q^{n-1})=-a_{n}p^{n}$

令$(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}p^{n-2}q+...+a_{1}pq^{n-2}+a_{0}q^{n-1})=v\in \mathbb {Z}$

因此，$qv=-a_{n}p^{n}$ $\Rightarrow v=-{\frac {a_{n}p^{n}}{q}}$

由於$q$ 與$p$ 互質，並且$v\in \mathbb {Z} .$，因此${\frac {a_{n}}{p}}\in \mathbb {Z}$.

$\therefore$ 對於 $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_{0}$，如果 $P({\frac {p}{q}})=0$（其中 $a_{i}\in \mathbb {Z}$ 且 $a_{0},a_{n}\neq 0$），那麼 ${\frac {(a_{0})}{p}}\in \mathbb {Z}$ 且 ${\frac {a_{n}}{q}}\in \mathbb {Z}$。 [已證明]