拓撲模/巴拿赫空間

定義（巴拿赫空間）:

巴拿赫空間是一個完備的賦範線性空間。

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命題（巴拿赫空間的級數判別法）:

令 $X$ 為一個帶有範數 $\|\cdot \|$ 的賦範線性空間。 則 $X$ 是一個巴拿赫空間當且僅當

$\sum _{n=1}^{\infty }\|x_{n}\|<\infty$ 蘊含著 $\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}x_{n}$ 在 $X$ 中存在，

只要 $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 是 $X$ 中的一個序列。

證明：首先假設 $X$ 是一個巴拿赫空間。 然後假設 $\sum _{n=1}^{\infty }\|x_{n}\|$ 收斂， 其中 $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 是 $X$ 中的一個序列。 然後令 $S_{N}:=\sum _{n=1}^{N}x_{n}$；我們斷言 $(S_{N})_{N\in \mathbb {N} }$ 是一個柯西序列。 實際上， 對於充分大的 $M>0$， 我們有

$N\geq M\Rightarrow \|S_{M}-S_{N}\|=\left\|\sum _{n=M+1}^{N}x_{n}\right\|\leq \sum _{n=M+1}^{N}\|x_{n}\|\leq \sum _{n=M+1}^{\infty }\|x_{n}\|<\epsilon$.

因此，$(S_{N})_{N\in \mathbb {N} }$ 也收斂，因為 $X$ 是一個巴拿赫空間。

現在假設對於所有序列 $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$，蘊含

$\sum _{n=1}^{\infty }\|x_{n}\|<\infty \Rightarrow \lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}x_{n}$

成立。 然後設 $(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 是 $X$ 中的柯西序列。 根據柯西性質，對於所有 $k\in \mathbb {N}$，選擇一個數 $N_{k}\in \mathbb {N}$ 使得 $\|y_{m}-y_{n}\|<1/2^{k}$ 當且僅當 $m,n\geq N_{k}$。 我們可以假設 $N_{1}\leq N_{2}\leq \cdots \leq N_{k}\leq \cdots$，即 $(N_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ 是一個自然數的升序序列。 然後定義 $x_{1}:=y_{N_{1}}$ 並且對於 $k\geq 2$ 設定 $x_{k}:=y_{N_{k}}-y_{N_{k-1}}$。 然後

$\sum _{j=1}^{k}x_{j}=y_{N_{k}}$.

此外，

$\sum _{j=1}^{k}\|x_{j}\|\leq \|y_{N_{1}}\|+\sum _{j=2}^{k}2^{-(k-1)}$,

因此

$\sum _{j=1}^{\infty }\|x_{j}\|$

作為單調遞增的有界序列而收斂。根據假設，序列 $(S_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ 收斂，其中

$S_{k}=\sum _{j=1}^{k}x_{j}=y_{N_{k}}$.

因此，$(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 是一個柯西序列，它有一個收斂的子序列，並且 因此收斂。 $\Box$