拓撲模/正交投影

定理（馮·諾伊曼遍歷定理）:

令 $H$ 為希爾伯特空間，並令 $U:H\to H$ 為酉運算元。 此外，令正交投影到空間 $W:=\{x\in H|Ux=x\}$ 由 $P_{W}:H\to H$ 給出。 然後

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}U^{k}=P_{W}$,

其中極限是在 $B(H)$ 上的運算元範數方面取的，$B(H)$ 是 $H$ 上的有界運算元空間。 此外，不等式

$\left\|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}U^{k}-P_{W}\right\|\leq {\frac {2}{n}}$

是收斂速度的一個有效估計。

證明：首先假設 $x\in H$ 和 $z\in W$。 然後

${\begin{aligned}\langle {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}U^{k}x-P_{W}(x),z\rangle &=\langle {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}U^{k}x-P_{W}(x),z\rangle +{\frac {n}{n}}\langle P_{W}(x)-x,z\rangle \\&=\langle {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}U^{k}x-x,z\rangle \\&={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left(\langle U^{k}x,z\rangle -\langle x,z\rangle \right)\\&{\overset {z\in W}{=}}{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left(\overbrace {\langle U^{k}x,U^{k}z\rangle } ^{=\langle x,z\rangle }-\langle x,z\rangle \right)=0.\end{aligned}}$

此外，如果我們設定

$y_{n}:={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}U^{k}x$,

我們會得到

${\begin{aligned}\|Uy_{n}-y_{n}\|^{2}&=\langle y_{n}-Uy_{n},y_{n}-Uy_{n}\rangle \\&={\frac {1}{n^{2}}}\langle Ux-U^{n+1}x,Ux-U^{n+1}x\rangle \\&={\frac {1}{n^{2}}}\left(\langle Ux,Ux\rangle -\langle U^{n+1}x,Ux\rangle -\langle Ux,U^{n+1}x\rangle +\langle U^{n+1}x,U^{n+1}x\rangle \right)\\&{\overset {\text{Cauchy‒Schwarz}}{\leq }}{\frac {4\|x\|^{2}}{n^{2}}}.\end{aligned}}$

如果現在序列 $(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 收斂，我們可以看到它的極限確實包含在 $W$ 內。從之前相應的考慮來看，我們可以推斷出序列 $(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 確實收斂於 $P_{W}(x)$。因此，我們只需證明該序列在運算元範數下收斂即可。由於 $H$ 是希爾伯特空間，證明 $\left({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}U^{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ 是一個柯西序列就足夠了。但由於

${\begin{aligned}\|y_{n}-y_{mn}\|&=\left\|y_{n}-\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{m}}U^{nk}y_{n}\right\|\\&\leq \sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{m}}\|y_{n}-U^{nk}y_{n}\|\\&\leq {\frac {2\|x\|}{n}}\end{aligned}}$

對於 $m\geq 1$ 情況如此；差距使用以下方法縮小

${\begin{aligned}\|y_{n}-y_{m}\|&=\left\|{\frac {m-n}{mn}}\sum _{k=1}^{n}U^{k}x-{\frac {1}{m}}\sum _{k=n+1}^{m}U^{k}x\right\|\\&\leq {\frac {m-n}{mn}}\|x\|+{\frac {m-n}{m}}\|x\|.\end{aligned}}$

在倒數第二個計算中取 $m\to \infty$，得到所需的收斂速度。這些計算還揭示了收斂的根本原因：序列變得越來越均勻，因為對其應用 $U^{m}$ 不會對其產生很大的改變。$\Box$