拓撲模/拓撲張量積

希爾伯特空間的張量積

命題（正交基的張量積是張量積的正交基）:

設$H_{1},H_{2}$ 是希爾伯特空間，並假設$(e_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ 是 $H_{1}$ 的正交基，而$(f_{\mu })_{\mu \in \mathrm {M} }$ 是 $H_{2}$ 的正交基。則$(e_{\lambda }\otimes e_{\mu })_{(\lambda ,\mu )\in \Lambda \times \mathrm {M} }$ 是 $H_{1}\otimes H_{2}$ 的正交基。

證明： 設任意元素

$\sum _{j=1}^{n}f_{j}\otimes g_{j}$

假設給定 $H_{1}\otimes H_{2}$；根據定義，$H_{1}\otimes H_{2}$ 的每個元素都可以由此類元素近似。令 $\epsilon >0$。然後根據正交基的定義，我們發現 $m_{j},l_{j}$ 對於 $j\in [n]$ 以及 $\alpha _{j,k},\beta _{j,k},\lambda _{j,k},\mu _{j,k}$ 對於 $j\in [n]$，然後是 $k\in [m_{j}]$ 分別為 $[l_{j}]$，使得

$\left\|\sum _{k=1}^{m_{j}}\alpha _{j,k}e_{\lambda _{j,k}}-f_{j}\right\|<\epsilon$ 以及 $\left\|\sum _{k=1}^{l_{j}}\beta _{j,k}f_{\mu _{j,k}}-g_{j}\right\|<\epsilon$.

然後注意到，根據三角不等式，

$\left\|\sum _{j=1}^{n}f_{j}\otimes g_{j}-\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{k=1}^{m_{j}}\alpha _{j,k}e_{\lambda _{j,k}}\right)\otimes \left(\sum _{k=1}^{l_{j}}\beta _{j,k}f_{\mu _{j,k}}\right)\right\|\leq \sum _{j=1}^{n}\left\|f_{j}\otimes g_{j}-\left(\sum _{k=1}^{m_{j}}\alpha _{j,k}e_{\lambda _{j,k}}\right)\otimes \left(\sum _{k=1}^{l_{j}}\beta _{j,k}f_{\mu _{j,k}}\right)\right\|$.

現在固定 $j\in [n]$。然後根據三角不等式，

${\begin{aligned}\left\|f_{j}\otimes g_{j}-\left(\sum _{k=1}^{m_{j}}\alpha _{j,k}e_{\lambda _{j,k}}\right)\otimes \left(\sum _{k=1}^{l_{j}}\beta _{j,k}f_{\mu _{j,k}}\right)\right\|&\leq \left\|f_{j}\otimes g_{j}-\left(\sum _{k=1}^{m_{j}}\alpha _{j,k}e_{\lambda _{j,k}}\right)\otimes g_{j}\right\|+\left\|\left(\sum _{k=1}^{m_{j}}\alpha _{j,k}e_{\lambda _{j,k}}\right)\otimes g_{j}-\left(\sum _{k=1}^{m_{j}}\alpha _{j,k}e_{\lambda _{j,k}}\right)\otimes \left(\sum _{k=1}^{l_{j}}\beta _{j,k}f_{\mu _{j,k}}\right)\right\|\\&=\left\|f_{j}-\left(\sum _{k=1}^{m_{j}}\alpha _{j,k}e_{\lambda _{j,k}}\right)\right\|\|g_{j}\|+\left\|\sum _{k=1}^{m_{j}}\alpha _{j,k}e_{\lambda _{j,k}}\right\|\left\|g_{j}-\left(\sum _{k=1}^{l_{j}}\beta _{j,k}f_{\mu _{j,k}}\right)\right\|\\&\leq \epsilon \left(\|g_{j}\|+\left\|\sum _{k=1}^{m_{j}}\alpha _{j,k}e_{\lambda _{j,k}}\right\|\right).\end{aligned}}$

總的來說，我們得到

$\left\|\sum _{j=1}^{n}f_{j}\otimes g_{j}-\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{k=1}^{m_{j}}\alpha _{j,k}e_{\lambda _{j,k}}\right)\otimes \left(\sum _{k=1}^{l_{j}}\beta _{j,k}f_{\mu _{j,k}}\right)\right\|\leq \epsilon \sum _{j=1}^{n}\left(\|g_{j}\|+2\|f_{j}\|\right)$

(假設給定的和足夠好地近似 $f_{j}$ )，它可以任意小，因此 $e_{\lambda }\otimes f_{\mu }$ 形式的張量的生成空間在 $H_{1}\otimes H_{2}$ 中稠密。 現在我們斷言這個基是正交的。 事實上，假設 $(\lambda ,\mu )\neq (\lambda ',\mu ')$。 那麼

$\langle e_{\lambda }\otimes f_{\mu },e_{\lambda '}\otimes f_{\mu '}\rangle =\langle e_{\lambda },e_{\lambda '}\rangle \langle f_{\mu },f_{\mu '}\rangle =0$.

類似地，當 $\lambda =\lambda '$ 且 $\mu =\mu '$ 時，上述表示式等於 $1$。因此，$(e_{\lambda }\otimes e_{\mu })_{(\lambda ,\mu )\in \Lambda \times \mathrm {M} }$確實構成了 $H_{1}\otimes H_{2}$的正交基。$\Box$