交通地理與網路科學/無標度網路

引言

無標度網路具有異質性，其節點之間連線狀態（度數）分佈極不均勻：網路中少數節點被稱為中心節點，擁有極其多的連線，而大多數節點只有少數連線。少數中心節點在無標度網路的執行中起著主導作用。廣義上講，無標度網路的無標度性質是一種內在屬性，它描述了大量複雜系統整體上連線狀態分佈極不均勻的特性。

研究表明，將統計動力學應用於網路可以適用於廣泛的社會、生物和技術網路。與許多集中於微觀或區域性相互作用的物理學領域不同，網路研究利用了本質上是歸納的方法。儘管統計分析反駁了無標度網路的說法並對其他網路提出了嚴重的質疑，但許多網路已被報道為無標度網路。為了解釋真實網路中冪律度數分佈，提出了優先連線機制和網路增長理論。

無標度性質的發現

全球資訊網被稱為最大的以人為本的網路。該資訊系統的大小超過萬億$(10^{7})$，大於人腦$10^{11}$。由於組織和個人興趣的多樣性，它被認為是一個任意的網路，因此文件可以隨機連結到其他文件。然後，聖母大學的 Hawoong Jeong 建立了其中一個 Web 域。出乎意料的是，結果有所不同。在隨機網路中，通常禁止高度連線節點的中心節點。然而，在全球資訊網的拓撲結構中，一些度數節點和具有大量連結的節點並存。這導致了“無標度”性質的發現。

這個來自 WWW 的樣本在 Albert 的 1999 年研究中被對映。並且度數的分佈顯示在雙對數軸上（log-log 圖），其中冪律遵循一條直線。gamma in 為 2.1，gamma out 為 2.45。由於 gamma-in 低於 gamma-out，gamma-in 比 gamma-out 線更直。如圖所示，與預期獲得的表徵隨機網路的泊松分佈相比，網路展示了冪律分佈。這可以簡化為“無標度網路”是指度數分佈為冪律分佈的網路。

冪律分佈

   $P_{k}$ ~ $k^{-r}$

這是冪律分佈方程，指數 gamma 是其度數指數。K 代表節點的度數；連結的數量。P 是機率；分數。

定義無標度性質的數學方法

從數學上講，無標度網路意味著度數分佈的統計矩沒有定義（Zhao, Park and Lai, 2004）。 無標度性質可以用離散形式或連續形式的數學方法來定義。

離散形式

離散形式提供了在精確數量的 k 個連結處的機率 P_k，因為連結的數量始終為正且離散，例如 k = 0, 1, 2 等等。根據“歸一化條件”和“黎曼ζ函式”，可以根據以下公式獲得該方程

$P_{k}=k^{-r}/\zeta (r)$

連續形式

$P(k)=(r-1)k_{min}^{r-1}k^{r-1}$

與離散形式相比，這種形式是連續的，這意味著度數可以在感興趣的區間內具有任何正實數。可以考慮機率密度，而不是機率本身的值。P(k) 不再是機率，而是每 x 個單位的機率。根據連續形式，可以在一定範圍內獲得機率 P(k)。

中心節點

中心節點 是隨機網路和無標度網路之間最主要的區別。它代表了高度節點的分佈，這些節點大部分不存在於隨機網路中，而自然存在於無標度網路中。透過計算最大度數 k_max，可以看出中心節點的大小是如何受到網路大小的影響的。它被稱為“自然截斷”，是指網路中最大中心節點的預期大小。

根據隨機網路和無標度網路的公式，可以識別網路的大小如何影響樞紐的大小。

隨機網路

$K_{max}=K_{min}+lnN/{\lambda }$

$lnN/{\lambda }$ 是系統大小的“慢函式”[1]。這表明節點的度數不會明顯地從最小連結數量發生改變。

無標度網路

$K_{max}=K_{min}N^{\dfrac {1}{r-1}}$

隨著無標度網路的網路規模增加，可以看出節點的度數將顯著增加。這再次強調了樞紐在隨機網路中是被禁止的，但在無標度網路中它們是邏輯上存在的。

隨機網路和無標度網路之間的區別

• 無標度網路就像航空網路。機場是節點，航班是節點之間的連線。由於節點擁有少量帶有大量連結的樞紐，大城市的機場擁有大量前往其他城市的航班，這些航班充當樞紐。
• 隨機網路就像高速公路。所有城市都透過高速公路系統連線，沒有城市擁有大量的高速公路。例如，當駕車從悉尼前往墨爾本時，車輛需要經過許多城市，而使用飛機則可以透過一次直飛到達目的地。
• 在隨機網路中，節點的度數是可比較的，因為樞紐是被禁止的。這導致出現一個鐘形曲線，遵循泊松分佈。

無標度結構的機制

網路的增長

在真實網路中，節點數量持續增加，而隨機網路中的節點數量 N 是固定的。

優先連線

在優先連線中，節點傾向於連線到擁有許多其他連結的節點和無標度網路中的節點。相反，在隨機網路中，節點隨機選擇其他節點，而不管節點的度數如何。

優先連線示例

在上面的示例中，在第一個圖中，每個連結節點被另一個節點連線的機率相等。然而，在第二個圖中，具有兩個連結的節點被選擇的機率為 50%，而其他每個節點都只有一個連結，這使得只有一個連結的節點被選擇的機率只有 25%。最後，在最後一個圖中，選擇了具有 50% 連結的節點。因此，現有節點擁有的連結越多，它被選擇的可能性就越大。

由於互連性導致的脆弱性

在無標度網路中

隨機網路和無標度網路之間的主要區別在於樞紐的存在。無標度網路中的樞紐據說是無限連結的，並且一個節點不是其他節點的典型代表。無標度網路易受協調攻擊，但對意外故障具有魯棒性。

在隨機網路中

級聯故障通常是由互連性引起的。其中一個例子是 2003 年北美停電。對於電力，冗餘度低於其他網路。電力是交通系統之一。由於電力無法儲存，因此必須在生產後立即使用。並且，如果一個節點發生故障，它將由於互連性而影響其他節點。這被稱為“級聯故障”。該圖顯示了 2003 年北美停電前後 20 小時的情況。由於城市之間的互連性，其他城市無法提供電力。

參考文獻

BARABÁSI, A.-L., & PÓSFAI, M. (2016). 網路科學。

Albert, R., Jeong, H. & Barabási, A. L. 全球資訊網的直徑。自然 401, 130–131 (1999)。

Zhao, L., Park, K. 和 Lai, Y. (2004)。由於級聯故障導致的無標度網路的攻擊脆弱性。物理評論 E，70(3)。