簡介

探索包含區域相互依賴觀測的空間資料樣本的想法，促使研究人員引入了空間計量經濟學^[1]。該領域採用計量經濟學方法和空間分析來研究觀測變數之間的空間自相關或鄰域效應^[1]。空間計量經濟學的概念在三個主要特徵方面與傳統的計量經濟學模型完全不同，即空間依賴性、空間異質性和空間異方差性^[2]。空間依賴性是指在附近位置的特徵之間觀察到正相關或負相關^[3]。空間異質性是指因變數和自變數之間關係的差異；而空間異方差性則探索研究區域中空間單元之間未觀測成分方差的異質性^[4]。鑑於這些特徵違反了 Gauss-Markov 假設，包括不相關的和同方差誤差項，它們在傳統的計量經濟學技術中被忽略^[1]。例如，Gauss-Markov 假設忽略了空間資料樣本中方差的變化，並且只假設單個線性關係具有恆定方差。在過去的五十年中，大量研究^[2] 試圖利用空間分析中的多元方法來彌合這一差距，包括空間自相關、空間插值和空間互動。下面簡要定義了它們各自的內容。

空間自相關

空間自相關統計包括 Moran's $I$ 、Geary's $C$ 和熱點分析（Getis's $G$ ）並評估空間單元觀測之間的依賴關係。為了探索資料的空間自相關，需要預先指定一個空間權重矩陣，該矩陣精確地指出了空間觀測之間存在何種關係。空間權重矩陣的正分量表明觀測位置和未觀測位置的變數之間存在相似性，而負分量則說明存在差異^[5]。

空間插值

空間插值方法透過利用觀測位置的變數值來估計未觀測位置的變數。逆距離加權法和克里格法通常用於估計未觀測位置的變數值。前者表明，未觀測位置的變數空間效應隨著距觀測位置距離的減小而不斷減弱。而後者則在探索空間單元之間系統性和隨機空間滯後的情況下，對未觀測位置的變數效應進行插值^[6]。

空間互動

空間互動是主要的空間分析工具之一，也被稱為重力模型。重力函式包含空間單元的吸引力、通勤者數量和機會，以及位置之間的鄰近關係。然後，透過計算方法和技術（如普通最小二乘法、最大似然法和人工神經網路）估計函式引數^[2]。

上述空間分析的特徵和通用方法為讀者提供了關於空間計量經濟學分析概念的總體框架。然而，正如本文所詳細討論的，對資料位置方面的量化是空間依賴性、異質性和異方差性分析的基石。本文的其餘部分將按以下順序展開。下一節將討論對資料位置方面的量化。然後，將提及空間計量經濟學史，隨後介紹該領域的發展方法和模型。最後，文章將回顧空間計量經濟學在交通運輸中的應用，並給出結論和未來可能的課題。

量化模型中的位置

空間資料觀測通常對映在笛卡爾空間上以顯示位置和鄰接資訊^[1]。位置資訊由經度和緯度表示，以計算空間中任意點之間的觀測距離。臨近的觀測反映出更大的空間依賴程度，而空間依賴性隨著觀測之間距離的增加而下降^[1]。此外，隨著空間的變化，觀測之間的（不）相似性意味著資料中的空間異質性^[1]。另一方面，鄰接資訊表示觀測區域單元在空間中的相對位置，反映了鄰近單元的概念^[7]。只有當遠離的單元的依賴性隨著距離的增加而減弱時，資料中才會觀察到空間依賴性。鄰近單元之間的相似性也表明空間異質性^[7]。下面提供了量化空間鄰接和加權空間鄰域矩陣的兩個示例，以闡明上述概念的應用。

量化空間鄰接

為了捕捉空間單元之間的空間鄰近性的概念，考慮圖 1 中所示的假設區域。每個區域的鄰近關係通常記錄在一個對稱的二元矩陣中^[7]。每個元素代表兩個區域之間的鄰近關係。例如，第 1 行第 3 列的矩陣元素代表區域 1 和區域 3 之間的鄰近關係。在二元配置中，矩陣元素用 0 或 1 表示，記錄區域之間鄰近關係的缺失或存在。已經推薦了許多方法來構建鄰近矩陣，包括線性鄰近、Rook 鄰近、Bishop 鄰近和 Queen 鄰近。Kelejian 和 Robinson (1995)^[8]詳細討論了每種方法。簡而言之，下面提到了每種配置的元素概念。

• 線性鄰近：當且僅當兩個區域共享一個共同的邊緣（在右側或左側）時，代表這兩個區域之間鄰近關係的元素等於 1。

• Rook 鄰近：當且僅當兩個區域共享一個共同的邊時，代表這兩個區域之間鄰近關係的元素等於 1。

• Bishop 鄰近：當且僅當兩個區域共享一個共同的頂點時，代表這兩個區域之間鄰近關係的元素等於 1。

• Queen 鄰近：當且僅當兩個區域共享一個共同的邊或頂點時，代表這兩個區域之間鄰近關係的元素等於 1。

此外，應該牢記，共享邊界的長度也對確定鄰近矩陣的元素起著至關重要的作用。兩個實體之間的共同邊界可能很短或很長，分別導致低或高鄰近性。總體而言，鄰近矩陣反映了資料中的空間依賴性，測量了相鄰觀測對向量中觀測的平均影響。該矩陣在空間分析方法中的有效性將在方法和模型部分進行討論。

量化加權空間鄰域矩陣

空間權重矩陣是空間計量經濟學和空間分析的基石^[2]。空間權重矩陣反映了空間單元之間可能的相互關係。每個非負元素代表兩個實體之間的空間影響，不具有自影響特性^[2]。換句話說，對角線元素等於零；而對稱權重矩陣的其他元素則透過多種方法進行測量。然而，目前尚不清楚哪種配置比其他可能的配置表現得更好。因此，實踐者通常建議選擇最能反映資料空間單元之間實際互動的概化^[9]。例如，當您測量森林中種子繁殖的樹木時，某種形式的距離倒數可能是最合適的。另一方面，如果您探索通勤者在交通分析區域中的地理分佈，那麼行程時間或行程成本概化可能更合適。從量化的角度來看，空間權重矩陣配置可能分為兩類：二元模式或可變加權模型。每種模式都包含各種方法。鄰近矩陣、固定距離、Delaunay 三角剖分和時空視窗通常用於建立二元配置；而距離倒數和無差別區域方法則被提出來測量可變加權矩陣^[10]。

空間計量經濟學歷史：生命週期視角

"空間計量經濟學"一詞的使用可以追溯到 1974 年，當時讓·帕蘭克在蒂爾堡舉行的荷蘭統計協會年會上，論證了為城市計量經濟模型提供方法學基礎的必要性^[11]。此後，讓·帕蘭克和利奧·克拉森於 1979 年發表了一篇題為 "Spatial Econometrics" 的文章^[12]。

空間計量經濟學的歷史概述可以分為三個主要階段，即誕生、成長和成熟，如圖 2 所示。誕生階段始於 1970 年，並發展到 1980 年代後期。該時代代表了空間計量經濟學、估計方法、空間統計和空間資料分析等基本概念，併成為成長階段的基石。必須指出，地理學和區域科學的兩個重要進展進一步推動了誕生階段的演變。一個是地理學中的定量分析革命，同時貝瑞和馬布爾出版了題為 "Spatial Analysis: A Reader in Statistical Geography" 的書籍，介紹了空間分析，時間為 1968 年^[13]。第二個進展是空間效應開始紮根於區域科學的操作模型，以及區域和城市經濟學領域。格蘭傑在 1969 年^[14]和費舍爾在 1971 年^[15]努力引入空間方法，並將其提取的嘗試作為 "Econometric Estimation with Spatial Dependence" 發表在應用經濟學文獻中。

在快速發展時期，許多對空間迴歸問題感興趣的區域科學家和地理學家湧現，例如 Brundson^[16]、Boots、Tiefelsdorf^[17] 和 Fotheringham^[18]。隨後，新一代學者，包括在萌芽階段的活躍學者的學生，不斷努力擴充套件空間計量經濟學領域。例如，Case 在 1991 年^[19] 進行了一項研究，透過應用空間隨機效應模型來探索印度尼西亞對稻米的空間關係。McMillen 在 1992 年^[20] 進一步努力透過採用加權最小二乘法和最大似然估計器來解決 Probit 模型與空間自相關的不一致性，而這種不一致性深深根植於異方差誤差。從那時起，公共經濟學、城市經濟學、房地產經濟學和發展^[21] 領域出現了大量嚴謹的研究。此外，空間計量經濟學研究為解決模型規範、估計和檢驗問題做出了貢獻。例如，Kelejian 和 Robinson^[8] 在 1995 年開發了空間誤差成分方法，而 Anselin 和 Kelejian 在 1997 年^[22] 將 Moran's I 應用於兩階段最小二乘迴歸。與此同時，地理加權迴歸作為空間計量經濟學模型中一個關鍵的步驟，由 Fotheringham 在 1997 年至 1999 年間發展起來，以捕捉空間異質性^[4] ^[18]。發展時期另一個獨特的特點是統計軟體的革命，以簡化空間計量經濟學的計算分析^[23]。空間迴歸模型的估計透過 NCGIA 的 SpaceStat 在 1992 年^[23] 變得實用。S+SpatialStats 和 Matlab 工具箱是另外兩個同時推出的商業軟體包^[24]。軼事證據表明，空間計量經濟學在 21 世紀初已獲得了研究人員和從業人員的廣泛認可，並已過渡到成熟階段。發表大量文章和特刊、手冊章節、不斷發展的軟體和商業軟體包、不斷增長的就業機會和研究經費可能是進入成熟時代的良好跡象。空間計量經濟學的概念也繼續滲透到犯罪分析、流行病學和公共衛生領域。這一階段，包括 "空間資料分析：理論與實踐"^[25]、"用空間誤差相關性檢驗面板資料迴歸模型"^[26]、"空間分析：生態學指南"^[27] 和 "貝葉斯疾病地圖繪製，空間流行病學中的分層模型"^[28] 等多本教科書變得更加普及。建模也進入成熟階段，引入了最先進的方法，即空間面板模型、空間潛在變數模型和流動模型。規範檢驗和計算方面以及軟體比發展階段獲得了更多關注。例如，拉格朗日乘子檢驗已顯著擴充套件，以檢測多種錯誤規範來源、不同型別的空間誤差相關性和模型選擇策略^[9]^[5]。

方法和模型

空間計量經濟學模型在過去幾十年中引起了人們的廣泛關注。從建模的角度來看，一種通用方法經常被應用於大多數實證研究中，以檢驗空間互動效應。Manski 在 1993 年^[26] 引入了一個模型來探索空間觀測之間的三種不同的互動效應，即內生互動效應、外生互動效應和相關效應。當空間單元的決策取決於其他空間單元的決策時，就會考慮內生互動效應。當空間單元的決策取決於其他空間單元決策的獨立解釋變數時，就會檢驗外生互動效應。正如之前所討論的，當類似的未觀察到的空間特徵導致類似的行為時，相關效應也在模型中進行測量。空間權重矩陣由 $W$ 表示。Manski 的通用模型由等式 1 公式化；其中， $WY$ 代表內生互動效應， $WX$ 表示外生互動效應，而 $Wu$ 表示空間單元擾動項之間的互動效應。此外， $\rho$ 被稱為空間自迴歸係數， $\gamma$ 為空間自相關係數， $\beta$ 和 $\theta$ 均為固定但未知引數的向量。

 $Y=\rho {WY}+\gamma {l_{N}}+\beta {X}+\theta {WX}+(\lambda {Wu}+\epsilon )$     (1)^[29]

當 $\theta$ 和 $\lambda$ 分別等於零時，Manski 方程簡化為 Kelejian-Prucha 模型和空間 Durbin 模型^[28]。換句話說，Kelejian-Prucha 模型考慮了空間滯後的因變數和空間自相關的誤差項；而 Anselin 在 1988 年提出的空間 Durbin 模型則檢驗了空間滯後的因變數和空間滯後的自變數。因此，對一般模型施加更多約束，可以推匯出兩個主要模型：1) 空間滯後模型和 2) 空間誤差模型，分別由公式 2 和 3 表述。

 $Y=\rho {WY}+\gamma {l_{N}}+\beta {X}+\epsilon$      (2)^[29]

 $Y=\gamma {l_{N}}+\beta {X}+(\lambda {Wu}+\epsilon )$     (3) ^[29]

觀察主要模型可以發現，將空間滯後模型中的 ρ 和空間誤差模型中的 γ 強制為零，就形成了簡單的迴歸模型。因此，為了檢驗空間互動效應，許多學者從簡單的普通最小二乘模型開始，這被稱為“特異性到一般性”方法。

從估計方法的角度來看，研究人員和實踐者廣泛應用了三種主要方法，包括最大似然法、廣義矩估計法和貝葉斯馬爾可夫鏈蒙特卡洛法^[29]。這些方法的優缺點在文獻中被廣泛討論^[2]。例如，廣義矩估計法不依賴於“擾動項的正態性”假設，並簡化了先前方法的計算難度^[2]。然而，此方法忽略了雅可比項，這會導致最終的係數估計值超出其引數空間^[29]。儘管如此，Fingleton 和 Le Gallo 在 2008 年^[30] 證明了廣義矩估計法在包含一個或多個內生解釋變數的線性空間模型中很有價值。包含空間滯後的模型可以透過兩階段最小二乘法進行估計^[31]。而貝葉斯馬爾可夫鏈蒙特卡洛法和最大似然法對於估計空間誤差模型和空間 Durbin 誤差模型非常有用^[30]。貝葉斯馬爾可夫鏈蒙特卡洛法還將區域科學思想納入其中，包括 1) 隨著距離增加，樣本資料影響力的衰減；2) 觀測值與相鄰觀測值的相似性；3) 地方或區域的層次結構；4) 隨著空間移動，引數發生系統性變化，作為主觀先驗資訊。

雖然在過去的 25 年裡，估計方法和空間計量經濟學模型取得了重大進展，但關於空間權重矩陣 ( $W$ ) 估計的文獻很少。當前空間計量經濟學模型的主要弱點之一是空間權重矩陣是在事先確定的。然而，實際上採用了兩種一般配置，包括一個非對角元素由 ${\frac {1}{d^{2}}}$ 衡量的矩陣，以及一個元素由 $e^{2d}$ 衡量的矩陣，其中 $d$ 代表兩個單元之間的距離。此外，當前文獻提出了一系列統計檢驗，例如擬合優度檢驗，並儘可能選擇最佳的矩陣結構^[32]。

應用

本文部分簡要回顧了交通領域使用空間計量經濟學模型的研究。瀏覽之前的研究可以使交通規劃者瞭解空間計量經濟學的應用。在交通領域，可能的應用將在課堂上討論！

結論

在過去的幾十年裡，區域科學、地理、城市規劃和交通研究人員越來越感興趣將空間計量經濟學應用於各種問題。本文儘可能地概述了空間計量經濟學和分析的起源、發展、主流和應用。一般計量經濟學模型和空間計量經濟學模型的主要區別在於，後者能夠捕捉空間依賴性、空間異質性和空間異方差性。越來越多的證據表明，忽略空間依賴性、空間異質性和空間異方差性概念會導致許多研究問題的模型錯誤指定，並誤導長期和短期政策^[3]^[33]。然而，研究人員和實踐者在這個領域想要探索的核心問題是：哪些、如何以及為什麼空間單元相互依賴？回答這些問題不僅擴大了探索最先進方法的思路，而且努力量化空間單元之間相互依賴的空間關係。然而，關於特定權重矩陣配置下空間實體之間相互依賴關係的文獻很少。換句話說，關於空間權重矩陣研究的知識還處於起步階段，近年來引起了人們極大的關注。當前文獻表明，由於各種關於空間依賴性的假設，導致了不同的權重矩陣配置，包括徑向距離權重、冪距離權重、指數距離權重、空間鄰接權重和共享邊界權重。然而，哪一種最適合問題尚不清楚。

在方法和模型方面，近幾十年來，引入了一些方法，這些方法都源於簡單的迴歸或普通最小二乘模型。Manski 的一般模型可以被稱為一種成熟的方法，它包含了空間實體之間所有型別的依賴關係。在模型應用方面，已經進行了大量的研究來探索空間相互依賴性對各種研究主題的影響。然而，在其他交通領域，還有許多開放性的研究思路，這些思路值得在將來進行探索。

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