三角函式/餘弦和正弦的冪級數

將麥克勞林定理應用於角度 x（以弧度表示）的餘弦和正弦函式，我們得到

$\displaystyle \cos(x)=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}$

$\sin(x)=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

對於這兩個級數，$n^{th}$ 項與 $(n-1)^{th}$ 項的比值對於所有 $x$ 趨於零。因此，這兩個級數對於所有 $x$ 絕對收斂。

許多餘弦和正弦函式的性質可以很容易地從這些展開式中推匯出，例如

$\displaystyle \sin(-x)=-\sin(x)$

$\displaystyle \cos(-x)=\cos(x)$

$\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)$