三角學

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• 請新增新的材料和示例，並進行更正。 所有的幫助都有用。
• 確定新材料屬於第1、2還是第3冊。 我們希望第1冊能夠在 K12 教育中使用。 第3冊，尤其是為愛好者準備的部分，可以擴充套件到研究生水平 - 這是可以的 - 只要它仍然可以被識別為三角學。
• 請檢視 關於本書，甚至修改它，以便我們有一個計劃好的結構，並使人們更容易瞭解在哪裡新增新內容。

任何幫助都受歡迎。

三角學第1冊

第1冊是微積分前的三角學。 我們假設學生對代數比較陌生，並且可以一步一步地進行代數運算。

許多頁面都有密切相關的免費/YouTube 可汗學院影片。 這是有意為之。 許多學生髮現影片演示有助於學習數學材料。

與所有三本三角學書籍一樣，我們有一個“為愛好者準備" 部分，該部分針對那些發現正常內容和速度太慢太容易，但仍需練習第1冊三角學的學生。

• 引言

三角形的邊長、角度和麵積

• 相似、全等、等腰和等邊三角形
• 三角形的內角和為 180 度
• 練習：全等三角形
• 練習：追逐角度
• 勾股定理
• 勾股定理證明
• 練習：拼圖三角形
• 約定
• 內角和為 180 度的證明
• 三角形的面積
• 海倫公式

三角函式

• 繪製 (Cos t, Sin t)
• 餘弦和正弦
• Soh-Cah-Toa
• 正弦平方加餘弦平方
• 弧度
• 單位圓
• 正弦定理
• 餘弦定理
• 已知ASA求解三角形
• 已知SAS求解三角形
• 應用示例：屋頂面積
• 應用示例：油輪進港
• * 練習：仰角和俯角
• 最難求解的三角形

三角函式作為函式

• 正弦、餘弦和正切的影像
• 相位和頻率
• 正弦平方影像
• 正弦加法公式
• 餘弦加法公式
• 二倍角公式
• * 同相和異相波
• * 拍頻
• * 應用示例：摩天輪問題
• * 應用示例：化簡角度
• * 餘割、正割、餘切
• * 餘割、正割和餘切的影像
• * 反三角函式
• * 化簡 sin(x) + b cos(x)

三角函式參考資料

• * 記憶三角公式
• * 三角公式參考
• * 三角函式單位圓和圖形參考
• * 特定角度參考
• * 正切定律

給愛好者

• * 正多邊形
• * 正多邊形可以組成哪些鑲嵌圖案？
• * 海倫公式證明
• * 羅盤方位
• * 積化和變換
• * 紐約到東京的距離
• * 利薩如圖形
• * CORDIC 演算法
• * 奈奎斯特頻率
• * 勾股數
• * 三角函式簡史

教師筆記

• * 關於本書 (第一冊)
• * 可汗學院影片
• * 常見學生錯誤 (第一冊)

三角學第二冊

第二冊也屬於預備微積分三角學。但是，代數部分的進度比第一冊快。這些主題不是理解三角學在學校中通常教授方式的關鍵，因為很多以前的內容已經取消了。

第二冊的主題有一個經驗法則，即所有與三角學、應用相關的中學競賽主題的並集，以及帕爾默的經典書籍《平面與球面三角學》中討論的主題，(連結)，減去第一冊中已經詳細討論的任何主題，並排除任何需要大量使用微積分或極限概念的主題（這些應該在第三冊中進行）。

例如，這些主題對對數學競賽感興趣的學生很有用。在愛好者部分，有一些主題和練習對將來會從事計算機圖形工作的學生很有用。

第二冊三角學加深了對三角形和圓形之間許多關係的理解。它還展示瞭如何解決一些更難的三角函式恆等式。

• 簡介

更多幾何

• * 三角函式的幾何定義
• * 泰勒斯定理：快速構建直角
• * 橢圓
• * 螺旋線

更多三角恆等式

• * 棣莫弗公式
• * 驗證三角恆等式
• * 解三角方程
• * 和化積 (練習)
• * 18º 的正弦
• * 15º 的正弦
• * 正弦的超越性
• * 正弦或餘弦等差數列的求和
• * 其他三角恆等式

球面三角學

• * 球面三角形
• * 應用：紐約到東京的距離
• * 球面三角學的應用 (天文學)

應用

• * 三角學實際應用中的相關問題
• * 對於小 x，sin x、x、tan x 之間的關係
• * 已知小角的對邊
• * 已知長邊的長度
• * 正交投影
• * 雙極 (雙角) 座標
• * 用半形公式解三角形
• * 地平線的距離和傾角
• * 圓內接四邊形和托勒密定理
• * 四邊形的面積
• * 扇形或弓形的面積
• * 曲線上路面的加寬
• * 光線的反射和折射

與三角形相關的圓、點和三角形

• * 外接圓
• * 內切圓
• * 旁切圓
• * 三角形的其他中心
• * 點的冪
• * 塞瓦定理
• * 垂心
• * 旁心三角形
• * 垂足三角形
• * 九點圓
• * 布羅卡定理
• * 費馬點
• * 三角形的反射
• * 莫雷三角形
• * 維維安尼定理
• * 拿破崙定理
• * 米凱爾點
• * 菲洛線
• * 梅涅勞斯定理
• * 面積平分線
• * 樞軸定理
• * 七圓定理
• * 西姆森線
• * 特博定理

應用於代數

• * 三次方程的解

應用於圖形

• * 德勞內三角剖分

這些應該放在哪裡？

本節用於我們尚不清楚如何歸類的第二卷頁面。

• * 一些鮮為人知的三角函式

供愛好者使用

• * 勾股定理的推廣
• * 眼球定理
• * 凱西定理

教師筆記

• * 關於本書（第二卷）
• * 可汗學院影片
• * 常見學生錯誤（第二卷）

廢料堆

這些是即將被淘汰的頁面。

• 三角恆等式
• * 三角學核心概念
• * 先決條件和基礎知識
• 加減定理
• 關於加法公式的更多內容 - 部分內容可能需要提取到第一卷。
• * 問題集
• * 度分秒
• * 沒有正弦函式
• * 關於直線的反射 (可能可以融入矩陣的介紹/複習 - 第 3 冊引言章節)

三角函式 第 3 冊

第 3 冊使用並建立在微積分、複數、矩陣的基礎上。我們假設學生對代數比較熟練。我們經常會將簡單的步驟合併在一起，以保持證明/解釋簡短。第 1 冊是先決條件，但第 2 冊不是。

有很多與計算相關的主題，特別是在“愛好者”部分。

• 引言

微積分和複數

• 一些初步結果
• 正弦函式的導數
• 餘弦函式的導數
• 正切函式的導數
• 反函式的導數
• e^x 的冪級數
• 餘弦函式和正弦函式的冪級數
• 餘弦函式和正弦函式的數值計算
• e^iπ
• 雙曲餘弦、雙曲正弦和雙曲正切
• 複變函式

基函式

• 正弦波中的方波
• 吉布斯現象
• 普朗歇爾恆等式

超越傅立葉變換

• 特徵函式
• 表示理論
• 龐特里亞金對偶
• 小波

這些內容應該放在哪裡？

本節內容用於第三冊中我們尚不確定其歸屬的頁面。

• 三角代換
• 平面向量
• 向量和點積
• 複數的三角形式
• 簡諧振盪
• * 計算 π
• * 一些使用向量的定理
• * 普萊斯定理

供愛好者使用

• * 切比雪夫多項式
• * 嚴格的三角學
• * 快速傅立葉變換
• * 厄爾多斯-莫德爾不等式
• * 希爾伯特第三問題
• * 小波壓縮

教師筆記

• * 關於本書 (第三冊)
• * 常見學生錯誤 (第三冊)

作者

Lmov, Alsocal, Robinson0120,
Evil saltine, JEdwards, llg, Programmermatt, Douglas W. Mitchell

此外，感謝許多維基百科數學文章的貢獻者，其中一些內容來自他們的貢獻。