三角學/證明：角之和為 180

在任何三角形中，角
總和為 $180^{\circ }\,$

兩個證明

我們給出了畢達哥拉斯定理的兩個證明。第一個證明很簡短，我們希望它能讓你相信畢達哥拉斯定理是正確的。第二個證明遵循歐幾里得的思路，更加技術性。

我們將用完全相同的方法來證明三角形內角和為 180 度。

你需要學習這些證明嗎？

如果你正在學習三角學，你需要知道三角形內角和為 $180^{\circ }\,$.

如果你正在學習三角學以備考，請諮詢你的老師，看看你是否需要學習證明角之和為 $180^{\circ }\,$。如果你需要學習證明，你可能需要學習第二個證明。這完全取決於你的教學大綱。第一個證明不是你通常在考試中想要的證明，但它確實更清晰地解釋了為什麼角之和為 $180^{\circ }\,$。閱讀和理解它將有助於你更多地瞭解數學證明的概念。證明的概念在你數學水平不斷提高的過程中變得越來越重要，所以提前瞭解證明是一個好主意。如果你想在這一階段跳過這兩個證明，那也沒問題。你可以隨時回來檢視它們。但是，不要跳過本書中的所有證明。其中一些對於理解三角學至關重要。如果你也懂得如何證明三角學公式，你會發現學習它們更容易。做“更多”實際上意味著更少的工作，也更有樂趣。

更多關於證明

我們之前看到了三角形的例子，其中角之和為 $180^{\circ }\,$。就像畢達哥拉斯定理一樣，數學家想知道為什麼它會這樣，並證明它總是這樣。僅僅證明它在許多例子中都是正確的還不夠。

在本頁我們將給出兩個證明。

• 第一個證明展示了它為何成立的原因。不幸的是，第一個證明依賴於關於三角形的一些其他事實，這些事實似乎很合理，但我們沒有證明它們是正確的。

實際上，當你試圖證明某些東西時，你總是會依賴於其他“事實”，這些事實可能非常合理，但你還沒有證明它們。在畢達哥拉斯證明中，我們依賴於這樣一個概念，即如果你移動形狀，它們會保持相同的面積。這很合理，但我們沒有證明它。

如果你沒有證明你所依賴的事實，你是否證明了定理？你需要走多遠才能證明某件事？哪些“事實”是可以作為你信任的“事實”來選擇的？這些問題不容易回答。但確實有一個前進的方向。那就是就允許使用哪些事實達成一致。

在介紹頁中，我們提到了大約 2300 年前生活的數學家歐幾里得。他選擇了一些在幾何和三角學中可以合理假設的事實。在他的體系中，幾何和三角學中的所有東西都應該從這些被允許的原理推匯出來。

• 本頁上的第二個證明直接或間接地只使用了歐幾里得所允許的原理。

第一個關於角之和為 180 度的證明

更傳統的證明將在後面給出。

一個任意三角形

三角形被分成 4 個全等的三角形。必須相等的角用相同的方式標記。

1. 首先，我們畫一個三角形。雖然右邊的圖顯示了一個特定的例子，但我們可以證明我們的證明無論我們畫什麼三角形都會有效。
2. 接下來，找到每條邊的中點，將每條邊分成兩半。將這些中點用線連線起來，如下一張圖所示，得到四個更小的三角形。
3. 四個較小的三角形彼此全等，每個三角形是大正三角形的四分之一。四個較小的三角形都相似於大正三角形。角是相同的，但邊的長度減半。
4. 現在看一下任何一條邊的中點。那裡匯聚了三個“角”，三個角中包含了三種尺寸的角各一個。
5. 這三個角之和構成一條直線，即它們之和為 $180^{o}\,$

這就是我們要證明的。我們完成了！

雖然步驟 3 非常合理，但實際上我們需要做更多工作才能完全證明這一步驟。一位數學家可能會說：

“我很高興在中間的三角形中，邊恰好是原三角形邊的一半，但你還沒有證明這個三角形與大三角形相似。”

這僅僅表明我們需要多麼謹慎。對我們來說，這就可以了。我們希望這個證明向你展示這個定理為何成立。如果需要，如果數學家更精確地告訴我們允許做哪些假設，我們可以完全證明中間三角形與其他小三角形全等。

歐幾里得證明角之和為 180 度的變體

用 $\displaystyle >>$ 標記的兩條線是平行的。

• $\angle 1=\angle A$。歐幾里得有一個關於直線與平行線相交的命題——它們以相同的角度相交，這是該命題的結果。
• $\angle 2=\angle C$。這也是出於同樣的原因。

在最上面一行，我們有

$\angle 1+\angle B+\angle 2=180^{\circ }$

但由於 $\angle 1=\angle A$ 並且因為 $\angle 2=\angle C$，這與以下陳述相同

$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ }$

這就是我們想要證明的。