三角學/三角形面積

三角形的面積
是底乘以高的一半

面積公式

藍色框中的陳述為我們提供了一種獲取任何三角形面積的方法。三角形的“底”是您選擇的任何邊作為底，即您選擇放在圖表底部的任何邊。然後高度是垂直於該底到頂點的距離，頂點是三角形上不在底上的點。下面的圖表顯示了高度和底部的測量方法。

特別注意第二個三角形的高度和底部是如何測量的。

直角三角形

在我們展示為什麼該公式適用於所有三角形之前，我們將看看直角三角形的簡單情況。

對於直角三角形，我們可以很容易地證明該公式是正確的，前提是“底”是較短的邊之一。因為我們可以用兩個直角三角形的副本構成一個矩形，所以直角三角形的面積只是由此形成的矩形面積的一半，即直角三角形的兩個較短邊的長度乘積的一半。以下是一些展示此的圖表

將其他三角形分成直角三角形

現在我們已經確定瞭如何計算直角三角形的面積，我們可以透過將任何三角形分成直角三角形來確定任何三角形的面積公式。在這裡，我們表明三角形可以分成兩個直角三角形。我們有“h”是三角形的高度，a 和 b 是兩個較小三角形的邊，a+b 一起是底的長度。

兩個較小三角形的面積是 ${\frac {ah}{2}}$ 和 ${\frac {bh}{2}}$ 。整個三角形的面積是它們的總和，即

${\frac {ah}{2}}+{\frac {bh}{2}}={\frac {ah+bh}{2}}={\frac {(a+b)h}{2}}={\frac {(a+b)}{2}}h$

是底乘以高的一半。

然而，我們需要小心，因為我們可能有一個鈍角三角形。處理此問題的一種方法是允許長度 a 或 b 為負數。但是，為了安全起見，最好為鈍角三角形繪製一個圖表並單獨檢查它。

在這個圖中，我們現在有底的長度是 a-b，三角形的面積是透過從最大的直角三角形中減去最小的直角三角形的面積得到的。

${\frac {ah}{2}}-{\frac {bh}{2}}={\frac {ah-bh}{2}}={\frac {(a-b)h}{2}}={\frac {(a-b)}{2}}h$

由於底的長度為 a-b，我們再次得到面積是底乘以高的一半。

三角形的面積
是底乘以高的一半