三角學/海倫公式

海倫公式指出，一個三角形的面積A，其邊長分別為a，b，c，計算公式如下：

$A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

其中$\displaystyle s$ 是三角形的半周長

$s={\frac {a+b+c}{2}}$

這裡有證明 here.

練習 我們用 3-4-5 三角形來嘗試一下，我們知道這是一個直角三角形。我們知道它的面積。它是 3x4 長方形面積的一半。所以面積 $A$ 是 ${\frac {3\times 4}{2}}=6$ 。 讓我們看看海倫公式是否也適用。 $s={\frac {3+4+5}{2}}=6$ 使用海倫公式 $A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}={\sqrt {6(6-3)(6-4)(6-5)}}={\sqrt {6\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}={\sqrt {36}}=6$ 它成功了。

亞歷山大的海倫

這個公式被認為是由於亞歷山大的希羅（或海倫）（公元 10-70 年），一位希臘數學家。

例項 現在輪到你了。我們有一個等邊三角形，每邊長為 1。三角形的底邊為 1，高度可以用勾股定理算出來。它是 ${\sqrt {1^{2}-{\frac {1}{2^{2}}}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ 所以我們等邊三角形的面積 $A$ 是 ${\frac {\sqrt {3}}{4}}$ 。 計算這個三角形的半周長 S，並將 S 和邊長的值代入海倫公式，計算面積 A。 $s=$ 使用海倫公式 $A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}=$ 答案是否正確？