三角學/證明：海倫公式

示例：邊長為 5-6-7 的三角形 我們知道邊長為 3、4 和 5 的三角形是直角三角形。兩個這樣的三角形將組成一個邊長為 3 和 4 的矩形，因此它的面積為 ${\frac {3\cdot 4}{2}}=6$ 。 邊長為 5、6、7 的三角形，其最大角將小於直角，其面積將小於 ${\frac {5\cdot 6}{2}}=15$ 。讓我們使用海倫公式計算其面積，看看它比估計值小多少。 $s={\frac {5+6+7}{2}}=9$ $A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}={\sqrt {9(9-5)(9-6)(9-7)}}={\sqrt {9(4)(3)(2)}}={\sqrt {216}}=6{\sqrt {6}}\approx 14.7$ 因此它比估計值並沒有小很多。

用於證明的三角形。

$A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

$s={\frac {a+b+c}{2}}$

你需要證明嗎？

你需要這個證明嗎？

對於大多數考試來說，你不需要知道這個證明。你可以在第一次閱讀這本書時跳過它。

它出現在這裡有兩個原因。

• 它是一個比你在三角學課程中通常做的更復雜的代數練習。在遵循步驟時保持冷靜。大多數這種水平的課程不證明它，因為他們認為它太難了。
• 證明表明海倫公式不是三角形的一些新的特殊性質。它必須是這樣，因為畢達哥拉斯定理。

證明

影片連結

在 可汗學院 有關於這個證明的影片，可能更容易理解。

• 海倫公式證明第一部分
• 海倫公式證明第二部分

證明

用於證明的三角形。

$A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

$s={\frac {a+b+c}{2}}$

三角形的面積 A 由兩個較小的直角三角形的面積組成。

$A={\frac {dh+(c-d)h}{2}}={\frac {ch}{2}}$

$A^{2}={\frac {c^{2}h^{2}}{4}}={\frac {c^{2}(b^{2}-d^{2})}{4}}={\frac {c^{2}b^{2}-c^{2}d^{2}}{4}}$

第二步是根據畢達哥拉斯定理。

為了更接近我們需要的結果，我們需要得到一個關於 $c^{2}d^{2}$ 的表示式，該表示式不涉及 d 或 h。代數中有一個很有用的技巧可以從平方差中得到兩個值的乘積。我們可以這樣得到 cd

$(c+d)^{2}-(c-d)^{2}=c^{2}+2cd+d^{2}-(c^{2}-2cd+d^{2})=4cd$

然而，這並不完全是我們需要的。在左側，我們需要“去除”d，為此，我們需要將左側轉換為可以使用 a^2 或 b^2 的勾股定理之一的形式。一些實驗表明

$c^{2}+2cd+d^{2}-(c-d)^{2}=4cd$ 接下來，從兩邊減去 2cd

$c^{2}+d^{2}-(c-d)^{2}=2cd$ 接下來，對 a 使用勾股定理

$c^{2}+d^{2}-(a^{2}-h^{2})=2cd$

$c^{2}+d^{2}-a^{2}+h^{2}=2cd$ 接下來，對 b 使用勾股定理

$c^{2}+b^{2}-a^{2}=2cd$

我們已經取得了很大進展。我們得到了一個關於 cd 的公式，該公式不涉及 d 或 h。現在，我們可以將該公式代入 A 的公式中，使其也不涉及 d 或 h。

$A^{2}={\frac {4c^{2}b^{2}-(c^{2}+b^{2}-a^{2})^{2}}{16}}$

展開並化簡後，得到

$A^{2}={\frac {2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}{16}}$

這是非常令人鼓舞的，因為公式非常對稱。我們想要一個對 a、b 和 c 同等對待的公式。

我們還有很多路要走。這個公式是關於 a、b 和 c 的，我們需要一個關於 s 的公式。

達到這個目標的一種方法是對這些公式進行實驗

$4s^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$

$4s(s-a)=-a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc$

$4(s-a)(s-b)=-a^{2}-b^{2}+c^{2}+2ab$

計算出這三個公式後，根據對稱性，以下完整表格如下

$4s^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$

$4s(s-a)=-a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc$

$4s(s-b)=a^{2}-b^{2}+c^{2}+2ac$

$4s(s-c)=a^{2}+b^{2}-c^{2}+2ab$

$4(s-a)(s-b)=-a^{2}-b^{2}+c^{2}+2ab$

$4(s-a)(s-c)=-a^{2}+b^{2}-c^{2}+2ac$

$4(s-b)(s-c)=a^{2}-b^{2}-c^{2}+2bc$

然後將上面表格中的兩行相乘

$4s(s-a)\times 4(s-b)(s-c)=(-a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc)\times (a^{2}-b^{2}-c^{2}+2bc)$

=右側的表示式類似於$(-q+p)\times (q+p)$，結果為$-(q^{2})+p^{2}$。這是一個計算的捷徑。我們可以直接將所有項都乘開，得到16項，然後進行消項和合並，得到

$16s(s-a)(s-b)(s-c)=-(-a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}+(2bc)^{2}$

$=-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}-2b^{2}c^{2}+4b^{2}c^{2}$

$=-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}$

$=16A^{2}$

所以

$A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

練習：鈍角怎麼辦？ 你是否注意到，就像三角形面積等於底乘以高的一半的證明一樣，這個關於面積的證明也把三角形分成了兩個直角三角形？它存在著完全相同的問題——如果三角形有一個鈍角怎麼辦？ 思考一下我們可以修正證明的這三種不同的方法 重複證明，這次使用鈍角，並減去面積而不是加上面積。 選擇三角形的放置位置，使得最大的角在頂端。這樣問題就消失了。 在上面的證明中，允許長度和麵積為負數。 這三種選擇中哪種最簡單？ 這三種方法都是修正證明的有效方法嗎？ 最簡單且有效的方案是最好的。它提供最短的證明，也最容易檢查。