三角學/三角形內角和為 180 度

在任何三角形中，角
始終加起來為 $180^{\circ }\,$

角的和

在任何三角形中，角始終加起來為 $180^{\circ }$

這是一個可能令人驚訝的事實。

因為 $90^{\circ }$ 是直角，這意味著任何三角形的內角和等於兩個直角的和。如果我們“撕掉”三角形的三個角，並將它們放在同一個點上，我們可以將它們排列成一條直線。三角形不必具有任何特殊性質，任何三角形都滿足這個結論。

內角和為 180 度

下面顯示了我們之前的一些三角形示例


等邊三角形	45-45-90 三角形	30-60-90 三角形	50-60-70 三角形	20-40-120 三角形

第一個例子顯示了一個等邊三角形。所有邊都相等。所有角都相等。每個角都是 60 度。內角和為 $60^{\circ }+60^{\circ }+60^{\circ }$ ，即 $180^{\circ }$ 。
第二個三角形顯示了一個直角三角形。其中一個角是直角。這個直角三角形有兩條邊長度相等。它是對稱的。它符合我們對等腰三角形的標準。這是一個非常特殊的等腰三角形，因為它既是等腰三角形，又是直角三角形。它有一個 90 度角，另外兩個角都是 45 度。內角和為 $45^{\circ }+45^{\circ }+90^{\circ }$ ，即 $180^{\circ }$ 。
第三個三角形有時被稱為 30°-60°-90° 三角形，因為它的角。它實際上是一個等邊三角形的一半。內角和為 $30^{\circ }+60^{\circ }+90^{\circ }$ ，即 $180^{\circ }$ 。

模式很清楚。

接下來我們有一個更隨意的三角形。所有邊都不相等。角分別為 50 度、60 度和 70 度。內角和為 $50^{\circ }+60^{\circ }+70^{\circ }$ ，即 $180^{\circ }$ 。
最後我們得到一個有鈍角的三角形，也就是說其中一個角大於 90°。這三個角分別是 20°、40° 和 120°，三個角的和是 $20^{\circ }+40^{\circ }+120^{\circ }$ ，也就是 $180^{\circ }$ 。

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這些例子表明它可能是真的，但它們並沒有證明這一點。

我們可以繼續對其他三角形進行同樣的操作，並不斷得到相同的答案，除非我們犯了錯誤。這可能會讓我們相信三角形的內角和等於 180° 對所有三角形都成立，但這並不能證明這一點。要證明它，我們需要某種通用的論證，能夠讓數學家信服它是正確的。我們怎麼知道它總是正確的呢？

它可能會錯在哪裡？嗯，如果我們沒有嘗試過鈍角三角形，那麼公式可能只適用於沒有鈍角的三角形。即使我們嘗試了鈍角三角形，我們也可能沒有足夠努力地尋找一個不符合公式的例子。據我們所知，這個公式可能只適用於角是 5° 的倍數的三角形。

證明將表明它適用於所有三角形

這個公式實際上適用於所有三角形。例如，我們可以做一個內角為 33° 和 66° 的三角形，第三個角必須是 81°。不幸的是，即使我們製作了越來越多的例子，我們也無法證明它適用於所有三角形。我們需要一種不同的方法。我們將在後面給出證明。證明的目的是證明它適用於所有三角形，而不僅僅是我們選擇觀察的那些三角形。