平面三角學/向量

在實踐中，三角學最實用的應用之一是與向量相關的計算，向量經常在物理學中使用。向量是一個既有大小（例如 3 或 8）又有方向（例如 北 或 30 度偏東）的量。它在圖中用箭頭表示，通常從原點指向一個特定點。

平面向量${\vec {A}}$ 可以用兩種方式表達 - 作為大小為$A_{x}$ 的水平向量的和，以及大小為$A_{y}$ 的垂直向量的和，或者根據其角度$\theta$ 和大小$\left|{\vec {A}}\right|$（或簡稱為 A）來表示。這兩種方法分別稱為“直角座標系”和“極座標系”。

直角座標系到極座標系轉換

為了簡單起見，假設${\vec {A}}$ 位於第一象限，其 x 分量為$A_{x}$，y 分量為$A_{y}$（這必然是正數）。給定這些分量，我們需要找到角度$\theta$ 和大小$A$.

如果我們畫出這三個向量，它們將構成一個直角三角形。很容易看出$\tan \theta ={\frac {A_{y}}{A_{x}}}$，或者$\theta =\arctan {\frac {A_{y}}{A_{x}}}$（定義角度為零的向量指向正右方）。此外，根據勾股定理，$A_{x}\,^{2}+A_{y}\,^{2}=A^{2}$，或者$A={\sqrt {A_{x}\,^{2}+A_{y}\,^{2}}}$.

極座標系到直角座標系轉換

這本質上與上面的問題相同，只是方向相反。這裡，$\theta$ 和 $A$ 是已知的，我們想要計算 $A_{x}$ 和 $A_{y}$ 的值。

使用與上面相同的三角形，我們可以看到 $\cos \theta ={\frac {A_{x}}{A}}$，或者 $A_{x}=A\cos \theta$。同樣，$\sin \theta ={\frac {A_{y}}{A}}$，或者 $A_{y}=A\sin \theta$。

轉換回顧

• $\theta =\arctan {\frac {A_{y}}{A_{x}}}$
• $\left|{\vec {A}}\right|=A={\sqrt {A_{x}\,^{2}+A_{y}\,^{2}}}$
• $A_{x}=A\cos \theta$
• $A_{y}=A\sin \theta$