三角學/已知 ASA 求解三角形

三角學最常見的應用之一是求解三角形，即在已知三角形的部分資訊（如邊長或角）的情況下，求解剩餘的邊長或角。也可能需要求解三角形的面積。

我們可以透過以下條件重構三角形：

• ASA 角-邊-角（參見下面的插圖）。
• AAS 角-角-邊（參見本頁後面的內容）。
• SAS 邊-角-邊（參見下一頁）。
• SSA 邊-邊-角（本書後面將介紹）。在 SSA 情況下，可能存在一個、兩個或不存在解。

已知 ASA（一邊及其兩端角）

• 已知兩個角，我們可以求解第三個角（因為三角形三個角的度數之和為 $180^{\circ }$）。

缺失的角 $\theta$ 可以透過以下公式求得：

$\theta =180^{\circ }-(\alpha +\beta )$

• 已知三個角和一條邊，我們可以使用 正弦定理 求解剩餘的邊長。

在插圖中，如果已知的邊是底邊，長度為 $c$，那麼與角 $\alpha$ 對面的邊的長度為 $a$，其可以透過以下公式求得：

$a=c\cdot {\frac {\sin(\alpha )}{\sin(\theta )}}$

檢查此公式 檢查該公式是否符合正弦定理。 現在也是檢查自己是否能夠推匯出正弦定理的好時機。如果在考試中遇到類似這樣的三角形問題，你可能會被要求同時求解它的缺失邊長並推匯出正弦定理。

• 然後可以使用 海倫公式 求解面積，或者更簡單地使用正弦定理中給出的公式求解面積。

已知 AAS（一邊及另兩角）

同樣，我們可以求解缺失的角，因為它們的度數之和為 $180^{\circ }$。從這裡開始，我們就擁有與 ASA 情況下第一步之後相同的資訊。

練習

練習 1：簡單的角度 I 三角形 $\Delta ABC$ 有 邊 ${\overline {BC}}$ 長度為 30m $\angle ABC=30^{\circ }$ 和 $\angle BCA=45^{\circ }$ 畫一個草圖。 剩餘兩條邊的長度是多少，缺失的角是多少？

練習 2：簡單的角度 II 三角形 $\displaystyle \Delta ABC$ 有 邊 ${\overline {BC}}$ 長度為 30m $\angle BCA=30^{\circ }$ 和 $\angle CAB=45^{\circ }$ 畫一個草圖。 剩餘兩條邊的長度是多少，缺失的角是多少？

練習 3：相似/全等？ 練習 1 和練習 2 中的這兩個三角形 彼此相似嗎？ 彼此全等嗎？