三角學/已知兩邊和夾角 (SAS) 解三角形

已知兩邊和夾角 (SAS)

已知兩邊和這兩邊所夾的角，我們可以應用餘弦定理來求解未知邊。

詳細說明 假設已知邊為$b$ 和 $c$，夾角為 $\alpha$ 我們想要找到未知邊 $a$ 我們知道 $b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha )=a^{2}$ 我們有 $b,c$ 和 $\alpha$。因此我們可以計算出未知邊 $a$ 為 $a={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha )}}$ 不要被我們在這裡使用的不同字母與餘弦定理的原始陳述混淆！將餘弦定理視為兩邊和夾角與剩餘邊之間的關係。我們有許多選擇來標註邊和角。

此時我們將知道一邊和一個對角。這就是正弦定理發揮作用的地方。它指出在任何三角形中，一邊的長度與其對角的正弦值的比率對所有三邊都是相同的。因此，我們可以使用正弦定理求出已知邊的對角的正弦值。然後，知道角的正弦值，我們就可以求出角本身。

詳細說明 我們知道比率 ${\frac {\sin(\alpha )}{a}}$ 對於其他角和邊都是相同的。所以特別地 $\sin(\gamma )={\frac {c}{a}}\sin(\alpha )$ 和 $\sin(\beta )={\frac {b}{a}}\sin(\alpha )$ 我們知道等式右邊的值。我們可以由此計算出等式左邊的值。取反正弦，我們就完成了。 不完全是。 我們需要檢查角 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 之和是否為 180°。 你可能會很震驚地發現它們並不相加。會發生什麼問題？請參閱下一個框。

反正弦的二義性 $\sin(80^{\circ })$ 等於多少？ $\sin(100^{\circ })$ 等於多少？ （預計您會使用計算器來進行這些計算）。 您看到問題了嗎？ 反正弦函式在對鈍角求反正弦時會“做出錯誤的選擇”。因此，在解 ASA 三角形時，您需要確定是否有一個角是鈍角。如果它的反正弦告訴您一個銳角，那麼您可以將其修正為等效的鈍角。 $\sin(70^{\circ })=\sin(110^{\circ })$ $\sin(60^{\circ })=\sin(120^{\circ })$ $\sin(20^{\circ })=\sin(160^{\circ })$ 具有相同正弦值的角之和為 180°，因此您可以透過從 180° 中減去得到的銳角來修正應該是鈍角的角。或者，由於三角形中最多隻有一個角是鈍角，即最長邊所對的角，可以計算另一個角。然後利用角之和為 180° 來得到剩餘的那個角。

如前所述，面積可以透過海倫公式求得。