三角函式/已知ASA解三角形

三角函式最常見的應用之一是解三角形——根據三角形的一些資訊找到缺失的邊和/或角。也可能需要求三角形的面積。

我們可以根據以下資訊重建三角形

• ASA 角-邊-角（參見下圖）。
• AAS 角-角-邊（參見本頁稍後內容）。
• SAS 邊-角-邊（參見下一頁）。
• SSA 邊-邊-角（本書後面部分）。在SSA情況下，我們可能有一個、兩個或沒有可能的解。

已知ASA（一條邊及其兩端角）

• 已知兩個角，我們可以求出第三個角（因為三角形三個角的度數之和為$180^{\circ }$）。

缺失的角，$\theta$ 由下式給出

$\theta =180^{\circ }-(\alpha +\beta )$

• 知道所有三個角和一條邊，我們可以使用正弦定理來求出缺失的邊。

在圖中，如果我們給出的邊是底邊，長度為$c$，那麼與角$\alpha$相對的邊的長度為$a$，由下式給出

$a=c\cdot {\frac {\sin(\alpha )}{\sin(\theta )}}$

檢查此結果 檢查此結果是否遵循正弦定理。 現在也是一個好時機，檢查一下你是否能夠自己推匯出正弦定理。如果考試中遇到類似這樣的三角形問題，你可能會被要求同時求出缺失的邊和推匯出正弦定理。

• 然後可以透過海倫公式求出面積，或者更簡單地透過正弦定理中給出的公式求出面積。

已知AAS（一條邊及其他兩個角）

同樣，我們可以計算出缺失的角，因為它們的和為$180^{\circ }$。從那裡開始，我們就有了與ASA情況第一步之後相同的資訊。

練習

練習1：簡單的角度I 三角形$\Delta ABC$具有 邊${\overline {BC}}$長30米 $\angle ABC=30^{\circ }$ 和 $\angle BCA=45^{\circ }$ 畫一個草圖。 其餘邊的長度是多少，缺失的角是多少？

練習2：簡單的角度II 三角形$\displaystyle \Delta ABC$具有 邊${\overline {BC}}$長30米 ∠BCA = 30° 並且 ∠CAB = 45° 畫一個草圖。 其餘邊的長度是多少，缺失的角是多少？

練習 3：相似/全等？ 練習 1 和練習 2 中這兩個三角形 是否彼此相似？ 是否彼此全等？