三角學/餘弦定理

餘弦定理

勾股定理是更一般的定理的特例，該定理將任意三角形中邊長的關係聯絡起來，即餘弦定理：

$a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\theta )=c^{2}$

其中 $\theta$ 是邊 $a$ 和 $b$ 之間的夾角。

公式是否有意義？

當 $\theta =90^{\circ }$ 時，此公式最好與勾股定理一致。

所以試試看...

當 $\theta =90^{\circ }$ 時，$\cos(\theta )=\cos(90^{\circ })=0$

$-2ab\cos(\theta )=0$，公式簡化為通常的勾股定理。

排列組合

對於任何具有角 $A,B,C$ 和對應對邊長 $a,b,c$ 的三角形，餘弦定理指出

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos(A)$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos(B)$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos(C)$

證明

從頂點$C$ 作垂線$OC$ ，交$AB$（或$AB$ 的延長線）於$O$，將三角形分成兩個直角三角形$AOC$ 和$BOC$，其中$h$ 是邊$c$ 上的高。

首先，我們將根據已知量，利用三角形$BOC$，求出三角形$AOC$ 的另外兩條邊的長度。

$h=a\sin(B)$

邊$c$ 被分成兩段，總長度為$c$。

${\overline {OB}}$ 的長度為${\overline {BC}}\cos(B)=a\cos(B)$

${\overline {AO}}={\overline {AB}}-{\overline {OB}}$ 的長度為$c-a\cos(B)$

現在，我們可以使用勾股定理求出$b$，因為$b^{2}={\overline {AO}}^{2}+h^{2}$。

$b^{2}$	$={\bigl (}c-a\cos(B){\bigr )}^{2}+a^{2}\sin ^{2}(B)$
	$=c^{2}-2ac\cos(B)+a^{2}\cos ^{2}(B)+a^{2}\sin ^{2}(B)$
	$=a^{2}+c^{2}-2ac\cos(B)$

對應於$a$和$c$的表示式也可以用類似的方法證明。

該公式可以重新排列

$\cos(C)={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$

以及類似地對於$cos(A)$和$cos(B)$。

應用

如果已知三角形的兩條邊及其夾角，則可以使用此公式求出三角形的第三條邊。重新排列後的公式可用於在已知三角形的三條邊的情況下求出三角形的角度。參見給定SAS求解三角形。