三角學/正弦定理

對於任何頂點為 $A,B,C$ 的三角形，對應角為 $A,B,C$，對應對邊長為 $a,b,c$，正弦定理指出

${\frac {a}{\sin(A)}}={\frac {b}{\sin(B)}}={\frac {c}{\sin(C)}}$

這些表示式中的每一個都等於三角形 外接圓（過點 $A,B,C$ 的圓）的直徑。該定理也可以用倒數表示

${\frac {\sin(A)}{a}}={\frac {\sin(B)}{b}}={\frac {\sin(C)}{c}}$

證明

從頂點 $C$ 向 $AB$（或 $AB$ 的延長線）作垂線 $OC$，將該三角形分為兩個直角三角形 $AOC$ 和 $BOC$。我們可以用兩種不同的方法計算高 $h$ 的長度 $OC$

• 使用三角形 AOC 得到

$h=b\sin(A)$ ;

• 使用三角形 BOC 得到

$h=a\sin(B)$ .

• 從這兩個等式中消去 $h$

$a\sin(B)=b\sin(A)$ .

• 重新排列得到

${\frac {a}{\sin(A)}}={\frac {b}{\sin(B)}}$

透過使用另外兩個垂直線，可以證明正弦定理。證畢。

應用

這個公式可以用來在知道一條邊和三個角的情況下求解三角形的另外兩條邊。 (如果知道兩個角，則第三個角很容易求得，因為三個角的和是 $180^{\circ }$ .) 檢視 已知 ASA 求解三角形。 它也可以用來在知道兩條邊和其中一條邊所對的角的情況下求解一個角。

三角形的面積

三角形的面積可以用多種方法求解。 如果知道三條邊，則使用海倫公式。

如果知道兩條邊和夾角，請參考上圖中的第二個圖。 假設邊 $b$ 和 $c$ ，以及它們之間的夾角 $\alpha$ 已知。 術語 /alpha 和 /gamma 是由希臘字母表示的變數，它們在三角學中通常可以互換使用，就像英文變數 x、y、z、a、b、c 等。 從三角形 $ACO$ , 高度 $h=CO$ 是 $b\sin(\alpha )$ 所以面積是 ${\frac {bc\sin(\alpha )}{2}}$ 。

如果知道兩個角和夾邊，請參考上圖中的第二個圖。 假設邊 $c$ 和角 $\alpha$ 和 $\gamma$ 已知。 假設 $AO=x$ 。 那麼

${\frac {x}{h}}=\tan(\alpha ){\text{ ; }}{\frac {c-x}{h}}=\tan(\gamma ){\text{ ; adding these, }}{\frac {c}{h}}=\tan(\alpha )+\tan(\gamma )$

因此

$h={\frac {c}{\tan(\alpha )+\tan(\gamma )}}{\text{ so area }}={\frac {c^{2}}{2{\bigl (}\tan(\alpha )+\tan(\gamma ){\bigr )}}}$ .