三角學/向量和點積

使用點積計算像甲烷這樣的對稱四面體分子的鍵角

考慮向量U和V（分別具有大小|U|和|V|）。如果這些向量包含一個角度θ，則這些向量的點積可以寫成

$\mathbf {U} \cdot \mathbf {V} =|\mathbf {U} ||\mathbf {V} |\cos(\theta )$

如果向量可以寫成

$\mathbf {U} =(U_{x},U_{y},U_{z})$

$\mathbf {V} =(V_{x},V_{y},V_{z})$

則點積由下式給出

$\mathbf {U} \cdot \mathbf {V} =U_{x}V_{x}+U_{y}V_{y}+U_{z}V_{z}$

例如，

$(1,2,3)\cdot (2,2,2)=1(2)+2(2)+3(2)=12.$

和

$(0,5,0)\cdot (4,0,0)=0.$

我們可以透過注意到兩個向量之間的角度為 90 度，因此積為零來解釋最後一個情況。

因為

$|\mathbf {U} |={\sqrt {U_{x}^{2}+U_{y}^{2}+U_{z}^{2}}}$

和

$|\mathbf {V} |={\sqrt {V_{x}^{2}+V_{y}^{2}+V_{z}^{2}}}$

這意味著

$\cos(\theta )={\frac {U_{x}V_{x}+U_{y}V_{y}+U_{z}V_{z}}{{\sqrt {U_{x}^{2}+U_{y}^{2}+U_{z}^{2}}}{\sqrt {V_{x}^{2}+V_{y}^{2}+V_{z}^{2}}}}}$