三角學/複數的三角形式

$z=a+bi=r\left(\cos \phi \ +i\sin \phi \right)$

其中

• i 是 虛數 $\left(i\ ={\sqrt {-1}}\right)$
• 模數 $r=\operatorname {mod} (z)=|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$
• 幅角 $\phi =\arg(z)$ 是複數在極座標圖上與實軸和虛軸形成的角度。可以使用 直角三角形三角學 來求三角函式。

這有時簡寫為 $r\left(\cos \phi \ +i\sin \phi \right)=r\operatorname {cis} \phi$，並且 $r\operatorname {cis} \phi =re^{i\phi }$ 也成立（前提是 $\phi$ 單位是弧度）。後一個恆等式稱為尤拉公式。

尤拉公式可以用來證明棣莫弗定理：$(\cos \phi \ +i\sin \phi )^{n}=\cos(n\phi )+i\sin(n\phi ).$ 這個公式對於n的所有值（實數或複數）都是有效的。