三角函式/關於加法公式的更多內容

相關公式

$\sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)$

$\sin(2a)=2\sin(a)\cos(a)$

$\sin {\bigl (}{\tfrac {a}{2}}{\bigr )}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos(a)}{2}}}$

正切公式

$\tan(a+b)={\frac {\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}}$

$\tan(a-b)={\frac {\tan(a)-\tan(b)}{1+\tan(a)\tan(b)}}$

$\tan(2a)={\frac {2\tan(a)}{1-\tan ^{2}(a)}}={\frac {2\cot(a)}{\cot ^{2}(a)-1}}={\frac {2}{\cot(a)-\tan(a)}}$

$\tan {\bigl (}{\tfrac {a}{2}}{\bigr )}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos(a)}{1+\cos(a)}}}={\frac {\sin(a)}{1+\cos(a)}}={\frac {1-\cos(a)}{\sin(a)}}={\frac {-1\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}(a)}}}{\tan(a)}}$

在表示式最後一行的如果 $0^{\circ }\leq a\leq 90^{\circ }$，那麼三角函式都是正數，因此在平方根之前需要正號。

推導

• $\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)$

利用餘角關係，我們知道 $\sin(a)=\cos(90^{\circ }-a)$。利用 $\cos(a-b)$ 的公式和餘角關係，我們可以寫成

$\sin(a+b)$	$=\cos(90-(a+b))$
	$=\cos {\bigl (}(90^{\circ }-a)-b{\bigr )}$
	$=\cos(90^{\circ }-a)\cos(b)+\sin(90^{\circ }-a)\sin(b)$
	$={\color {red}\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)}$

• $\sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)$

推匯出 $\sin(a+b)$ 後，我們將 $b$ 替換為 $-b$，並利用餘弦函式是偶函式而正弦函式是奇函式的事實。

$\sin {\bigl (}a+(-b){\bigr )}$	$=\sin(a)\cos(-b)+\cos(a)\sin(-b)$
	$=\sin(a)\cos(b)+\cos(a){\bigl (}-\sin(b){\bigr )}$
	$={\color {red}\sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)}$

相關公式

$\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$

$\cos(2a)=\cos ^{2}(a)-\sin ^{2}(a)=2\cos ^{2}(a)-1=1-2\sin ^{2}(a)$

$\cos {\bigl (}{\tfrac {a}{2}}{\bigr )}=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos(a)}{2}}}$

推導

• $\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$
• $\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$

使用 $\cos(a+b)$ 以及餘弦為偶函式，正弦為奇函式這一事實，我們有

$\cos {\bigl (}a+(-b){\bigr )}$	$=\cos(a)\cos(-b)-\sin(a)\sin(-b)$
	$=\cos(a)\cos(b)-\sin(a){\bigl (}-\sin(b){\bigr )}$
	$={\color {red}\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)}$