三角函式/二倍角公式

餘弦和正弦的二倍角公式

$\cos(2a)=2\cos ^{2}(a)-1$

$\sin(2a)=2\cos(a)\sin(a)$

什麼是二倍角公式？

二倍角公式將一個角的兩倍的餘弦和正弦表示為原來角度的餘弦和正弦。我們將從正弦和餘弦的加法公式推匯出它們。這些公式是

$\cos(2a)=2\cos ^{2}(a)-1$

和

$\sin(2a)=2\cos(a)\sin(a)$

練習推導非常值得，這樣你就可以快速輕鬆地進行。然後你就不需要記住公式了，因為你可以從正弦和餘弦的加法公式中快速得到它們。練習推導也很有益，因為更熟練地使用代數會讓你在使用三角函式的其他代數運算中更加熟練。

練習：檢查這些公式是否有意義 我們在這些公式中是否打錯了字？檢查一下，至少它們是否有意義。 我們知道 $\sin(0)=0$ 以及 $\cos(0)=1$。嘗試使用這些值。這些公式有效嗎？ $-1\leq \cos(\theta )\leq 1$ 和 $-1\leq \sin(\theta )\leq 1$。這些公式是否與之一致？ 編造你自己的“現場檢查”來檢查這些公式

示例：餘弦的半形公式 如果我們設定 $\alpha =2a$，我們會立即得到 $\cos(\alpha )=2\cos ^{2}{\bigl (}{\tfrac {\alpha }{2}}{\bigr )}-1$ 檢查一下。你同意嗎？或者重新排列 $\cos {\bigl (}{\tfrac {\alpha }{2}}{\bigr )}={\sqrt {\frac {\cos(\alpha )+1}{2}}}$ 因此，如果我們知道 $90^{\circ }$ 的餘弦值（我們知道，它是零），我們可以計算出 $45^{\circ }$ 和 $22.5^{\circ }$ 和 $11.25^{\circ }$ 等等。 $\cos(45^{\circ })={\sqrt {\frac {\cos(90^{\circ })+1}{2}}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}$ $\cos(22.5^{\circ })={\sqrt {\frac {\cos(45^{\circ })+1}{2}}}={\sqrt {\frac {{\sqrt {\frac {1}{2}}}+1}{2}}}$ $\cos(11.25^{\circ })={\sqrt {\frac {\cos(22.5^{\circ })+1}{2}}}={\sqrt {\frac {{\sqrt {\frac {{\sqrt {\frac {1}{2}}}+1}{2}}}+1}{2}}}$

倍角公式證明

我們將從加法公式中證明倍角公式。回想一下

$\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$

將 $b=a$ 代入上述公式得到

$\cos(2a)$	$=\cos(a+a)$
	$=\cos(a)\cos(a)-\sin(a)\sin(a)$
	$=\cos ^{2}(a)-\sin ^{2}(a)$

所以

$\cos(2a)=\cos ^{2}(a)-\sin ^{2}(a)$

將此與用正弦和餘弦表示的“勾股定理”進行比較。注意上面倍角公式有一個減號而不是加號，否則它將表示 $\cos(2a)=1$，這意味著 cos 對於所有 t 值都為 1，我們知道這是不正確的。

用餘弦或正弦表示

公式

$\cos(2a)=\cos ^{2}(a)-\sin ^{2}(a)$

還不是我們想要的。我們要消除正弦項，用餘弦表示它。為此，我們使用“勾股定理”的變形。

$\cos ^{2}(a)+\sin ^{2}(a)=1$

這與

$-\sin ^{2}(a)=\cos ^{2}(a)-1$

所以

$\cos(2a)=\cos ^{2}(a)-\sin ^{2}(a)=\cos ^{2}(a)+\cos ^{2}(a)-1=2\cos ^{2}(a)-1$

所以

$\cos(2a)=2\cos ^{2}(a)-1$

這就是我們想要的。

如果我們願意，我們可以使用偽裝的勾股定理將 $\cos ^{2}(a)$ 替換為 $\sin ^{2}(a)$。

練習：用正弦表示的二倍角餘弦公式。 現在就做，換句話說，用 $\sin(a)$ 表示 $\cos(2a)$ $\cos(2a)$$\cos(2a)$ 檢查你的答案，特別要確保所有的負號都正確。

正弦的二倍角公式

現在我們將用正弦的加法公式來得到正弦的二倍角公式。

$\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)$

檢查我們是否正確引用了加法公式，然後在上面的公式中代入 $b=a$

$\sin(2a)$	$=\sin(a+a)$
	$=\sin(a)\cos(a)+\sin(a)\cos(a)$
	$=2\cos(a)\sin(a)$

所以

$\sin(2a)=2\cos(a)\sin(a)$

與餘弦公式不同，僅僅用 $\sin(a)$ 表示 $\sin(2a)$ 的替換將涉及平方根，因此我們不會這樣做。上面的公式通常是最方便使用的形式。

三倍角和更高角度

使用上述方法兩次，並在適當的情況下使用勾股定理，我們發現

$\sin(3a)=3\sin(a)-4\sin ^{3}(a)$

$\cos(3a)=4\cos ^{3}(a)-3\cos(a)$

透過重複這個過程，我們可以找到 $\sin(na)$ 和 $\cos(na)$ 的公式，其中n為任意整數。但是，這些公式會變得相當長。

記住這些公式並不值得。它們並不經常使用，可以從公式表中查詢，或者在需要的時候計算出來。自己推匯出這些公式對練習代數很有幫助，所以......

練習：正弦和餘弦的三倍角公式 自己推匯出 $\sin(3\alpha )$ 和 $\cos(3\alpha )$ 的公式。

正切的二倍角和三倍角

透過使用 $\tan(a)={\frac {\sin(a)}{\cos(a)}}$ ，可以得出

$\tan(2a)={\frac {2\tan(a)}{1-\tan ^{2}(a)}}$

$\tan(3a)={\frac {3\tan(a)-\tan ^{3}(a)}{1-3\tan ^{2}(a)}}$

與 $\sin(3\alpha )$ 和 $\cos(3\alpha )$ 的公式一樣，這些公式並不經常有用，但同樣重要的是能夠自己推匯出它們。

練習：正切的多倍角公式 自己推匯出 $\tan(2x)$ 和 $\tan(3x)$ 的公式。 如果你沒有得到“正確答案”，不要驚慌。要熟練掌握代數運算需要時間和練習。在這裡，你知道正確答案，你可以仔細檢查自己的步驟，嘗試自己找出錯誤的地方。很多時候，錯誤是由於符號錯誤，比如加了一個值而不是減去它，然後從那一點開始所有內容都是錯的。你可以用這個技巧，為 $x$ 填入實際值（並使用計算器計算），檢查第一個錯誤出現的那個位置。