三角學/四邊形面積

取任意四邊形 ABCD。寫 AB=a，BC=b，CD=c，DA=a；σ = ¹⁄₂(a+b+c+d)；四邊形 ABCD 的面積 = S。

注意 a+b+c-d = 2(σ-d)，其他邊類似。

ABCD 的對角線為 AC 和 BD。設它們之間的角度為 θ。那麼 S = ¹⁄₂AC.BD.sin(θ)。

如果 ABCD 是凸的，且對角線在 P 點相交，這很容易透過考慮四個三角形 ABP、BCP、CDP、DAP 來證明，因為 S 是這四個三角形面積之和。如果 ABCD 不是凸的，那麼其中一個頂點，比如 C，必須位於三角形 ABD 內部。然後我們發現 S 是 ABD 的面積減去 BCD 的面積。

設角度 A+C = 2α。要根據邊和 alpha 找到 S；。

我們可以透過對三角形 BAD、BCD 中的任意一個應用餘弦定理來找到 BD²。這意味著

a²+d²-2ad.cos(A) = b²+c²-2bc.cos(C)

所以

a²+d²-b²-c² = 2ad.cos(A)-2bc.cos(C) ... (i)

還有

S = area(BAD) + area(BCD) = ¹⁄₂ad.sin(A) + ¹⁄₂bc.sin(C)

所以

4S = 2ad.sin(A) + 2bc.sin(C) ... (ii)

取 (ii)² + (i)²,

16S² + (a²+d²-b²-c²)² = 4a²d² + 4b²c² - 8abcd.cos(A+C)

但是

cos(A+C) = cos(2α) = 2cos²(α)-1

所以

16S² = 4(ad+bc)² - (a²+d²-b²-c²)² - 16abcd.cos²(α).

簡化後，

S² = (σ-a)(σ-b)(σ-c)(σ-d) - abcd.cos²(α).

對於圓內接四邊形，這個表示式變得更簡單，因為此時 cos(α) = 0，所以最後一項消失。

圓內接四邊形的對角線和外接圓半徑

在上面的表示式 (i) 中，對於圓內接四邊形 cos(C) = -cos(A)，所以

$2(ad+bc)\cos(A)=a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}$.

根據餘弦定理，

$BD^{2}=a^{2}+d^{2}-2ad.\cos(A)=a^{2}+d^{2}-{\frac {ad(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})}{ad+bc}}={\frac {(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}}$.

類似地，

$AC^{2}={\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{ab+cd}}$.

因此 AC.BD = ac+bd（正如我們已經知道的），以及

${\frac {AC}{BD}}={\frac {ad+bc}{ab+cd)}}$.

ABCD 的外接圓也是三角形 ABD 的外接圓，所以

$R={\frac {BD}{2\sin(A)}}={\frac {(ad+bc)BD}{2(ad+bc)\sin(A)}}={\frac {(ad+bc)BD}{4S}}={\frac {1}{4S}}{\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}$.

$\tan ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right)={\frac {(\sigma -a)(\sigma -b)}{(\sigma -c)(\sigma -d)}}$.

進一步的結果

如果一個四邊形是外接圓的，即可以內接一個圓，使圓與四邊相切，那麼 a+c=b+d。這很容易證明，因為從一點到圓的兩個切線的長度相等。

內接圓的半徑稱為內切圓半徑，等於 S/σ。

定理：如果一個四邊形 ABCD 既是圓內接四邊形又是圓外接四邊形，那麼

$\tan ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right)={\frac {bc}{ad}}$.

證明：由於 ABCD 是圓內接四邊形，

$\cos(A)={\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2(ad+bc)}}$.

由於 a+c=b+d，a-d=b-c，即 a²+d²-b²-c² = 2(ad-bc)。因此

$\cos(A)={\frac {ad-bc}{ad+bc}}$

$\tan ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right)={\frac {1-\cos(A)}{1+\cos(A)}}={\frac {bc}{ad}}$.

如果一個四邊形 ABCD 既是圓內接四邊形又是圓外接四邊形，那麼它的面積是 √(abcd)，內切圓半徑是 2√(abcd)/(a+b+c+d)。