三角函式/反函式的導數

反函式 $\arcsin(x)$ 等，其導數都是純代數函式。

如果 $y=\arcsin(x)$ 那麼 $x=\sin(y)$ 並且

${\frac {dx}{dy}}=\cos(y)={\sqrt {1-\sin ^{2}(y)}}={\sqrt {1-x^{2}}}$ .

所以

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\frac {dx}{dy}}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

類似地，

${\frac {d}{dx}}{\bigl [}\arccos(x){\bigr ]}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ .

如果 $y=\arctan(x)$ 那麼 $x=\tan(y)$ 並且

${\frac {dx}{dy}}=\sec ^{2}(y)=1+\tan ^{2}(y)=1+x^{2}$ .

所以

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\frac {dx}{dy}}}={\frac {1}{1+x^{2}}}$

如果 $y=\operatorname {arcsec}(x)$ 那麼 $x=\sec(y)$ 並且

${\frac {dx}{dy}}=\sec(y)\tan(y)=x{\sqrt {x^{2}-1}}$ .

所以

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\frac {dx}{dy}}}={\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

冪級數

以上結果提供了一種簡單的方法來找到這些函式的冪級數展開式。

${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {3x^{4}}{8}}+{\frac {5x^{6}}{16}}+{\frac {35x^{8}}{128}}+\cdots$

如果 $|x|<1$，該級數一致收斂，因此可以逐項積分。積分常數為零，因為 $\arcsin(0)=0$，所以

$\arcsin(x)=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+{\frac {5x^{7}}{112}}+{\frac {35x^{9}}{1152}}+\cdots$

${\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots$

如果 $|x|<1$，該級數一致收斂，因此可以逐項積分。積分常數為零，因為 $\arctan(0)=0$，所以

$\arctan(x)=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots$

請注意，$\operatorname {arcsec}(x)$ 在$x=0$ 處沒有冪級數展開式，因為它在$x<1$ 時未定義，並且在$x=1$ 時導數無窮大。關於任何點$x=a>1$ 的展開式，可以用泰勒定理求得；它將在$1<x<2a-1$ 範圍內收斂。