三角函式/正切定理

對於任何三角形，其角為$A,B,C$，對應的對邊長度為$a,b,c$，正切定理指出：

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan \left({\frac {A-B}{2}}\right)}{\tan \left({\frac {A+B}{2}}\right)}}$

相應的恆等式也適用於$b,c,B,C$和$c,a,C,A$。

何時使用

這個公式不像正弦定理或餘弦定理那樣重要，這就是我們將它及其證明放在參考部分的原因。您可以在您的公式書中找到此公式。我們將其及其證明包含在內是為了“完整性”。

就我們而言，它的主要用途是證明它是三角函式代數練習的好方法。

證明

根據正弦定理，

${\frac {\sin(A)}{a}}={\frac {\sin(B)}{b}}$

因此

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\sin(A)-\sin(B)}{\sin(A)+\sin(B)}}={\frac {2\cos \left({\frac {A+B}{2}}\right)\sin \left({\frac {A-B}{2}}\right)}{2\sin \left({\frac {A+B}{2}}\right)\cos \left({\frac {A-B}{2}}\right)}}={\frac {\tan \left({\frac {A-B}{2}}\right)}{\tan \left({\frac {A+B}{2}}\right)}}$

我們將引導您詳細說明上述每一步。

練習：第一步 - 所有內容都用正弦表示 讓我們引入一個常數$k$ $k={\frac {a}{\sin(A)}}={\frac {b}{\sin(B)}}$ 現在用 $k,\sin(A),\sin(B)$ 表示 $a,b$。利用這些 $a,b$ 的表示式，完全從 ${\frac {a-b}{a+b}}$ 中去除 $a,b$。 最後約去 $k$。

練習：第二步 - 和角化積 對於第二步，使用和角化積公式，或者將 $A,B$ 表示為 $A={\frac {A+B}{2}}+{\frac {A-B}{2}}$ 和 $B={\frac {A+B}{2}}-{\frac {A-B}{2}}$ 並使用正弦和角公式將分子和分母轉換為積。一開始看起來可能有點嚇人，但如果操作正確，你會發現很多項會相互抵消。這一步，使用正弦和角公式，實際上是在練習推導和角化積公式。

練習：第三步 - 因式分解為正切 在倒數第二個表示式中（即最後第二個表示式），尋找類似於 ${\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}$ 的項，其中 $x$ 是相同的表示式。這些項可以用 $\tan(x)$ 替換，其中 $x$ 就是該表示式。 請記住，如果 ${\frac {a}{b}}=\tan(\theta )$，那麼可以得出 ${\frac {b}{a}}={\frac {1}{\tan(\theta )}}$。