三角函式/正弦函式的導數

要找到 sin(θ) 的導數。

${\frac {d}{dx}}{\bigl [}\sin(x){\bigr ]}=\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(x+h)-\sin(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {2\cos {\bigl (}x+{\frac {h}{2}}{\bigr )}\sin {\bigl (}{\frac {h}{2}}{\bigr )}}{h}}=\lim _{h\to 0}\left[\cos {\bigl (}x+{\tfrac {h}{2}}{\bigr )}{\frac {\sin {\bigl (}{\frac {h}{2}}{\bigr )}}{\frac {h}{2}}}\right]$ .

顯然，第一項的極限是 $\cos(x)$ 因為 $\cos(x)$ 是一個連續函式。寫 $k={\frac {h}{2}}$ ; 那麼第二項是

${\frac {\sin(k)}{k}}$ .

我們 之前證明過 當 $k\to 0$ 時，它趨近於 1。

並且因為

$k\to 0{\text{ as }}h\to 0$ ,

第二項的極限也是 1。 因此

${\frac {d}{dx}}{\bigl [}\sin(x){\bigr ]}=\cos(x)$ .