三角函式/一些初步結果

我們證明了一些在微積分應用於三角函式時需要的結果。

證明參考圖

定理：如果 $\theta$; 是一個大於0但小於直角的正角（以弧度表示），則 $0<\sin(\theta )<\theta <\tan(\theta )$.

證明：考慮一個圓，圓心為 $O$，半徑為 $r$，並在圓周上選擇兩個點 $A$ 和 $B$，使得 $\angle AOB$ 小於直角。在點 $B$ 處作圓的切線，並設 ${\overrightarrow {OA}}$ 的延長線與切線交於點 $C$。顯然

$0<\operatorname {area} \left(\triangle OAB\right)<\operatorname {area} \left({\text{⌔}}OAB\right)<\operatorname {area} \left(\triangle OBC\right)$

即

$0<{\frac {1}{2}}r^{2}\sin(\theta )<{\frac {1}{2}}r^{2}\theta <{\frac {1}{2}}r^{2}\tan(\theta )$

結果得證。

推論：如果$\theta$是一個負角，大於負直角（以弧度表示），那麼$0>\sin(\theta )>\theta >\tan(\theta )$。[這來自$\sin(-\theta )=-\sin(\theta )$和$\tan(-\theta )=-\tan(\theta )$。]

推論：如果$\theta$是一個非零角，小於直角但大於負直角（以弧度表示），那麼$0<\left\vert \sin \theta \right\vert <\left\vert \theta \right\vert <\left\vert \tan \theta \right\vert$。

定理：當$\theta \rightarrow 0,{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\rightarrow 1$和${\frac {\tan(\theta )}{\theta }}\rightarrow 1$。

證明：將前一定理的結果除以$\sin(\theta )$並取倒數，

$1>{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}>\cos(\theta )$.

但$\cos(\theta )$趨向於$1$當$\theta$趨向於$0$，因此第一部分成立。

將前一定理的結果除以$\tan(\theta )$並取倒數，

${\frac {1}{\cos(\theta )}}>{\frac {\tan(\theta )}{\theta }}>1$.

再次，$\cos(\theta )$ 趨於 $1$ 因為 $\theta$ 趨於 $0$，所以第二部分成立。

定理： 如果 $\theta$ 如前所述，則 $\cos(\theta )>1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}$。

證明

$\cos(\theta )=1-2\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)$

$\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)<{\frac {\theta }{2}}{\text{ so}}$

$\cos(\theta )>1-2\left({\frac {\theta }{2}}\right)^{2}=1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}$.

定理： 如果 $\theta$ 如前所述，則 $\sin(\theta )>\theta -{\frac {\theta ^{3}}{4}}$。

證明

$\sin(\theta )=2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)=2\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)$.

$\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)>{\frac {\theta }{2}}{\text{ so}}$

$\sin(\theta )>2\left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)=\theta \left(1-\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)$.

$\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)<{\frac {\theta }{2}}{\text{ so}}$

$1-\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)>1-\left({\frac {\theta }{2}}\right)^{2}{\text{ so}}$

$\sin(\theta )<\theta \left(1-\left({\frac {\theta }{2}}\right)^{2}\right)=\theta -{\frac {\theta ^{3}}{4}}$.

定理： $\sin(\theta )$ 和 $\cos(\theta )$ 是連續函式。

證明： 對於任意 $h$，

$|\sin(\theta +h)-\sin(\theta )|=2|\cos \left(\theta +{\frac {h}{2}}\right)||\sin \left({\frac {h}{2}}\right)|<h$,

因為 $\left\vert \cos(\theta )\right\vert$ 不超過 $1$，並且 $\left\vert \sin(\theta )\right\vert$ 不超過 $\left\vert x\right\vert$。因此，當

$h\rightarrow 0,\,\sin(\theta +h)\rightarrow \sin(\theta )$,

證明了連續性。cos(θ) 的證明類似，或者可以從以下公式推導

$\cos(\theta )=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)$.