三角學/最難解的三角形

已知 SSA（兩邊和不夾這兩邊的角 - 模稜兩可的情況）

在下圖中，紅色弧線表示與三角形左下角距離相同的點。這些點構成了其中一邊的長度。三角形的缺失角必須位於紅色弧線與斜向虛線相交的點之一。

看上面的圖。我們遇到了麻煩。有兩個可能的解。給定的資訊可能無法唯一確定一個三角形。更糟糕的是，如果角 $\theta$ 太大，可能根本沒有解。

以下是我們的處理方法。

兩條已知邊之一，邊 $a$ 與已知角相對，因此我們可以應用 正弦定律 來嘗試找到另一條已知邊所對的角。當我們這樣做時（給定邊 $a$ 和 $b$ 以及角 $A$），我們將有 $\sin(B)={\frac {b\sin(\theta )}{a}}$，有三種可能性

要麼 $\sin(B)>1$，$\sin(B)=1$，或者 $\sin(B)<1$。

• 如果 $\sin(B)>1$，那麼不存在滿足給定資訊的角 $B$，因此無法用給定的邊和角形成三角形。這是因為無論邊的位置如何，它都太短而無法到達虛線。
• 如果 $\sin(B)=1$，那麼我們有一個直角三角形，直角在 $B$，我們可以按照直角三角形的步驟繼續處理。
• 如果 $\sin(B)<1$ 且已知角的對邊比另一條已知邊短，那麼角 $B$ 可能有兩個度數，一個是銳角（$\sin(B)$ 的反正弦值），另一個是鈍角（銳角的補角，即比該角少 180°）。無論我們選擇哪一個角度，我們現在都有了兩個角，可以像上面那樣找到缺失的資訊。因此，存在兩個可能的解。
• 如果 $\sin(B)<1$ 且已知角的對邊比另一條已知邊長，那麼可能看起來有兩個解，但其中一個解是無效的，因為我們會發現兩個角的和超過 180°，因此第三個角將為負數。因此只有一個可能的解。（如果兩條已知邊長度相等，第二個解將是一個面積為零的三角形，其中這兩條邊重合，第三條邊的長度為零。）

情況 $\sin(B)=1$

根據勾股定理，我們可以證明，如果兩個直角三角形斜邊相等，且另一對邊也相等，那麼這兩個三角形全等。（然而，歐幾里得在不需要勾股定理的情況下證明了這個定理。）

證明

好了，我們已經知道定理

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ .

對吧？

因此，你會發現它可以被反轉，得到公式 $c^{2}-b^{2}=a^{2}$ 。這意味著，如果你知道一個三角形的斜邊和一條直角邊，你可以計算出另一條直角邊的長度。這本身就非常重要，而且還意味著你知道三角形三條邊的長度，而且只有唯一一個具有三個特定邊長的三角形，這意味著如果你知道兩個三角形的斜邊和一條直角邊是全等的，你也知道這兩個三角形是全等的！