三角學/三次方程的解

一個三次方程是以下形式的方程

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

需要求解 x 的值。x 有三個可能的值，稱為方程的根，儘管兩個或所有三個值可能相等（重根）。如果 a、b、c 和 d 都是實數，那麼 x 的值至少必須有一個是實數。有兩種可能的情況：另外兩個根可能是實數，也可能是一對複共軛數。

這些根總是可以用根式精確表示。但是，如果所有三個根都是實數，則根式包含複數的立方根。在這種情況下，它們通常最容易使用三角函式計算。

在上式中，a 不為零（否則方程將是二次方程）。用a除以整個方程，得到以下形式的方程

$x^{3}+Ax^{2}+Bx+C=0$

令

$Q={\frac {3B-A^{2}}{9}},\qquad R={\frac {9AB-27C-2A^{3}}{54}},\qquad D=Q^{3}+R^{2}$

D 稱為判別式。如果 $D>0$，則有兩個根是複數；如果 $D=0$，則存在一個（實數）重根；如果 $D<0$，則存在三個不相等的實數根。

假設 $D<0$。顯然，$Q^{3}=D-R^{2}$ 必須小於 $D$，因此也為負；因此，$-Q^{3}$ 和 $-Q$ 都為正。令

$\cos(\theta )={\frac {R}{\sqrt {-Q^{3}}}}$

則三個根為

$x_{1}=2{\sqrt {-Q}}\cos \left({\tfrac {\theta }{3}}\right)-{\frac {A}{3}}$

$x_{2}=2{\sqrt {-Q}}\cos \left({\tfrac {\theta }{3}}+120^{\circ }\right)-{\frac {A}{3}}$

$x_{3}=2{\sqrt {-Q}}\cos \left({\tfrac {\theta }{3}}+240^{\circ }\right)-{\frac {A}{3}}$

示例：方程$x^{3}-3x+1=0$的解：$A=0$，$B=-3$，以及$C=1$。可以求得$Q=-1$，$R=-1/2$，$D=-3/4$，以及$\theta =2\pi /3,4\pi /3$，因此$x=2\cos(4\pi /9)=2\sin(\pi /18)=0.347296$，$x=2\cos(2\pi /9)=1.53209$，$x=-2\cos(\pi /9)=-1.87939$，第一個解是三角形格點上鍵滲流的關鍵閾值（Sykes 和 Essam 1964）。

[新增示例和/或練習]