三角學/地平線的距離和傾角

由於地球是（近似）球體，靠近其表面的觀察者只能看到一個有限的區域，該區域以觀察者為中心，並被圓圈包圍。這個圓圈稱為地平線。此外，該圓圈上的點略低於透過觀察者且垂直於從觀察者到地球中心的線的平面。該平面與從觀察者到地平線上一點的線之間的角度稱為地平線的傾角。

[插入圖表]

設地球的半徑為 *r*，地平線的距離為 *d*，觀察者在地球上方的高度為 *h*。那麼根據畢達哥拉斯定理

$\displaystyle (r+h)^{2}=r^{2}+d^{2}$

或者，重新排列，

$\displaystyle d={\sqrt {h(2r+h)}}$.

在正常情況下，*h* 將遠小於 *r*，因此可以準確地寫成

$\displaystyle d={\sqrt {2hr}}$.

此公式可以反轉，以找到要看到給定距離需要多高

$\displaystyle h={\frac {d^{2}}{2r}}$.

傾角 *θ* 等於地球中心處觀察者與地平線之間的角度，因此

$\displaystyle \tan(\theta )={\frac {d}{r}}$.

將在第 3 章證明，對於小角度

$\displaystyle \tan(\theta )\approx \theta {\text{ radians }}={\frac {180\theta }{\pi }}{\text{ degrees}}$.

工作示例 假設地球半徑為 3960 英里，觀察者高 100 英尺。將高度轉換為英里， $\displaystyle h={\frac {100}{5280}}$ $\displaystyle d={\sqrt {2hr}}={\sqrt {2\,{\frac {100}{5280}}\,3960}}={\sqrt {\frac {800}{3}}}\approx 16.3{\text{ miles}}$. $\theta \approx {\frac {16.3}{3960}}{\text{ radians }}\approx 0.004116{\text{ radians }}\approx 0.236{\text{ degrees}}$.

請注意，在實踐中，光線會因地球大氣層而略微彎曲，因此通常地平線會比這些簡單規則預測的稍微遠一點，傾角也會稍微小一點。