三角學/弧度

在
一個完整的圓圈中

測量單位

我們一直用度來測量角度，一個完整的圓圈中是 $360^{\circ }$。但是，如果我們根據繞圓圈的單位數來測量圓圈呢？這樣想，您是根據圓心處的度數還是圓圈周圍的米數來測量跑步者繞圓形跑道跑的距離？顯而易見的答案是圓圈周圍的米數。但是，如何在三角學中測量它呢？

長度和重量單位的選擇

在測量許多量時，我們可以選擇單位。例如，在測量距離時，我們可以使用公制系統並以米、千米、釐米、毫米為單位。也可以以英里、碼、英尺和英寸為單位測量距離。在測量重量時，我們可以使用公斤和克。我們也可以使用磅和盎司作為單位。

時間測量單位的選擇

在測量時間時，我們選擇將一分鐘分為 60 秒，將一小時分為 60 分鐘。我們可以設計一個新的更公制的計時系統，將一小時分為 100 個單位，每個單位是我們當前時間的五分之三，然後將這些較短的“分鐘”分為 100 個單位，每個單位大約是三分之一秒。

為什麼是 60？為什麼是 360？

將角度分為 60 的選擇並非完全是任意的。60 可以被 2、3、4、5 或 6 或 10 或 12 均勻地整除。60 不能被 7 整除，每個部分都是一個整數，但仍然很好。在整個圓圈中使用 360 度，我們可以用整數度數將圓圈均勻地分成許多部分。不過，我們可以將圓圈分成其他單位數。

公制角度？

從早些時候關於公制系統的討論中，您可能在預料我們會將圓圈分為 100 或 1000 個“度”。事實上，確實有一個叫做“梯度”或“度分”的單位（在帶有該單位的計算器上寫成 Grad），角度是透過將直角分成 100 個相等的部分來測量的，每個部分為 1 梯度。1 梯度等於 0.9 度——非常接近 1 度。梯度又分為 100 分，1 分又分為 100 秒。這種百分制系統（源自拉丁語centum，意思是 100）是在法國大革命後作為公制系統的一部分引入的。梯度單位的使用遠不如度或本頁最感興趣的單位廣泛。我們這裡介紹的單位叫做弧度。

弧度是從
點到$\left(x,0\right)$的圓周長度。

弧度單位的選擇

與度數（和梯度）相比，弧度相當大。整個圓圈大約有 6.28 弧度。1 弧度大約有 57.3 度。

練習：檢查語句 語句 整個圓圈大約有 6.28 弧度。 1 弧度大約有 57.3 度。 是否相容？這並不難檢查。 旁白：在數學書籍中，快速檢查可以輕鬆檢查的語句非常值得。這有助於加強您的理解並確認您理解了所述內容。此外，不幸的是，數學書籍中出現小錯誤並不罕見，例如，作者可能會寫$x_{i}$ 而不是$x_{j}$ 或者其他一些小錯誤。這些錯誤往往發生在作者非常瞭解材料，看到的是他預期看到的內容，而不是實際寫的內容。對於初學者來說，這些錯誤可能非常令人困惑。這些錯誤也可能發生在華夏公益教科書中，有時，試圖改進內容的訪問者實際上會引入錯誤。在華夏公益教科書中，您還可能看到符號突然發生變化，或者符號與圖表不匹配，這是因為不同的人編寫了不同的材料。

我們說“整個圓圈大約有 6.28 弧度”。確切的數字是$2\pi$，使整個圓圈中的弧度數與單位圓的周長相等。

記住

圓的周長是
$2\pi \times R$
其中 $R$ 是半徑。

弧度單位選擇的合理性

在解釋三角函式的這個階段，很難解釋使用這些奇怪單位的原因。甚至在一個完整的圓裡，也沒有一個精確的弧度整數。在更高階的工作中，特別是當我們使用微積分時，它們對於角度函式來說是最自然的單位，例如 $\cos(\alpha )$ 和 $\sin(\alpha )$。 對於非常小的角度，我們可以得到一個這樣的結論，但這僅僅是一個提示，說明為什麼它是使用的良好單位。

$\sin(\alpha )\approx \alpha$

並且當角度越小時，近似值越好。這 *只有在我們將弧度作為測量單位* 並且角度非常小時才成立。

工作示例：弧度和角度的小角度 我們聲稱，對於用弧度測量的小角度，角度值和角度的正弦值非常相似。 讓我們取圓的百萬分之一。用度數表示為 0.00036 度。用弧度表示為 ${\frac {2\pi }{1,000,000}}\approx 0.00000628$ 弧度。當然，角度是相同的。無論我們選擇用什麼單位來測量它，它都是圓的百萬分之一。就像重量一樣，無論我們是用公斤還是磅來測量，重量都是一樣的。 這個角度的正弦值，無論我們選擇用度數還是弧度來測量角度，它都是一樣的，結果大約為 0.00000628。如果你的計算器設定為使用度數，那麼 $\sin(0.00036^{\circ })$ 會給出這個答案。

弧度制

在一個完整的圓裡，有
$2\pi$ 弧度
。

傳統上用度數來測量角度，一個完整的圓周有 360 度。在數學上更高階的工作中，我們使用不同的單位，即 弧度。 這不會造成根本性的區別，就像物理定律不會因為你用米而不是英寸來測量長度而改變一樣。 在高階工作中，**如果沒有給出角度值的單位，則預設角度為弧度。**

${\frac {3\pi }{2}}^{c}\equiv {\frac {3\pi }{2}}{\rm {rad.}}\equiv {\frac {3\pi }{2}}$

為了清楚地表明角度是使用弧度測量的，可以使用在角度後面新增“弧度”或“rad”。 偶爾你可能會看到一個上標 c 寫在所討論的角度上面。

你需要知道的

對於三角函式的第一本書，你需要知道如何將度數轉換為弧度，以及將弧度轉換為度數。 你還需要熟悉常見的角度，例如 $90^{\circ }$，用弧度來表示也是（它是 ${\frac {\pi }{2}}$ 弧度）。 弧度通常用 Pi 的倍數來表示。

你還需要熟悉將你的計算器在度數模式和弧度模式之間切換。

關於角度的所有內容，例如三角形內角之和為 180 度，在弧度中都有等效的表達。 三角形內角之和為 $\pi$ 弧度。

弧度定義

弧度定義為圓的圓心角，當圓心角所對的弧長等於圓的半徑時，該圓心角的弧度為1弧度。

用單位圓定義弧度。

$1{\rm {rad}}\approx 57.296^{\circ }$

用弧度測量角度

角度的弧度值等於圓弧長 s 除以圓的半徑 r。

${\text{angle in radians}}={\frac {s}{r}}$

用弧度測量角度

我們知道圓的周長等於 $2\pi r$ , 因此，圓心角為一個完整的逆時針旋轉時，其所對的圓弧長（或周長）為 $s=2\pi r$ 。因此 $2\pi$ 弧度對應於 $360^{\circ }$ ，也就是說，一個圓中有 $2\pi$ 弧度。

弧度和角度之間的轉換

因為一個圓中有 $2\pi$ 弧度

將角度轉換為弧度
$\theta ^{c}=\theta ^{\circ }\times {\frac {\pi }{180}}$

將弧度轉換為角度
$\phi ^{\circ }=\phi ^{c}\times {\frac {180}{\pi }}$

練習

將角度轉換為弧度 轉換 $180^{\circ }$ 為弧度制。 $90^{\circ }$ 為弧度制。 $90^{\circ }$ 為弧度制。 $137^{\circ }$ 為弧度制。

將弧度轉換為角度 轉換 ${\frac {\pi }{3}}$ 為角度制。 ${\frac {\pi }{6}}$ 為角度制。 ${\frac {7\pi }{3}}$ 為角度制。 ${\frac {3\pi }{4}}$ 為角度制。