三角學/正弦平方加餘弦平方

$\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1$

偽裝的畢達哥拉斯

這個公式是偽裝的畢達哥拉斯定理。

$\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1$

如果你看一下下一部分的圖表，它應該很清楚原因。一個直角三角形的斜邊為單位長度，則該三角形角度為 $\theta$ 的正弦和餘弦只是兩條較短邊的長度。所以將它們平方並相加得到斜邊的平方，即 1 的平方，即 1。

畢達哥拉斯三角恆等式

顯示角度 θ 的正弦和餘弦的相似直角三角形

更詳細地說......在一個邊長為 $a,b$，斜邊為 $c$ 的直角三角形中，三角學 (Soh-Cah-Toa) 確定了邊 $a$ 和斜邊之間的角度 $\theta$ 的正弦和餘弦為

$\sin(\theta )={\frac {b}{c}}\,\ \quad \cos(\theta )={\frac {a}{c}}$

由此得出

$\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )={\frac {b^{2}+a^{2}}{c^{2}}}=1$

其中最後一步應用了畢達哥拉斯定理。正弦和餘弦之間的這種關係有時被稱為基本畢達哥拉斯三角恆等式。 在相似三角形中，邊的比率是相同的，無論三角形的大小如何，並且取決於角度。因此，在圖中，斜邊為單位長度的三角形的對邊長度為 $\sin(\theta )$，鄰邊長度為 $\cos(\theta )$，以斜邊為單位。

正弦和餘弦都不會超過 1，並且其中一個越接近 1，另一個就必須越接近 0。我們可以從兩個方面看到這一點

• 它直接從公式中得出。當正弦平方或餘弦平方越接近 1 時，留給另一個的值就會減少。
• 從幾何上可以看出。斜邊是 1，並且比其他兩條邊都長。當一條邊越接近 1 時，另一條邊就必須越接近 0。

使用公式

如果 $\sin \left(30^{\circ }\right)=0.5$，那麼 $\cos \left(30^{\circ }\right)$ 等於多少？ 根據畢達哥拉斯恆等式， $\sin ^{2}(30^{\circ })+\cos ^{2}(30^{\circ })=1$ 如果 $\sin(30^{\circ })=0.5$，那麼 $(0.5)^{2}+\cos ^{2}(30^{\circ })=1$ 求解 $\cos \left(30^{\circ }\right)$，在等式兩邊同時加上 $-\left(0.5\right)^{2}$，得到 $\cos ^{2}(30^{\circ })=1-(0.5)^{2}=0.75$ ${\sqrt {\cos ^{2}(30^{\circ })}}=\pm \cos(30^{\circ })=\pm {\sqrt {0.75}}\approx 0.866$ 在最後一步，我們需要在 $0.866$ 和 $-0.866$ 之間做出選擇。我們選擇正值，因為從三角形中可以看出，$\cos \left(30^{\circ }\right)$ 是正數。

這個公式和圓

在之前的練習中，我們要求你繪製點 ${\big (}\cos(t),\sin(t){\big )}$，你應該得到一個圓 - 嗯，你應該是這樣做的。

對於你繪製的每個點，都有一個直角三角形，其座標為 $(0,0),{\big (}\cos(t),0{\big )},{\big (}\cos(t),\sin(t){\big )}$。

該三角形的斜邊是從 $(0,0)$ 到 ${\big (}\cos(t),\sin(t){\big )}$ 的線。斜邊的平方長度為 $\sin ^{2}(t)+\cos ^{2}(t)$ ，因為這個值是 1，所以斜邊長度為 1。因此，你繪製的每個點都距離點 $(0,0)$ 1 個單位，這就是所有點都位於半徑為 1、中心為 $(0,0)$ 的圓上的必要條件。

事實上，你繪製的點都滿足 $x^{2}+y^{2}=1$ 。這是因為 $x=\cos(t)$ 並且 $y=\sin(t)$ 。如果你繪製的是滿足 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 的點，你會得到一個半徑為 $R$ 的圓。

修正

修正：以下哪些說法是正確的？ 修正 斜邊是三角形中最長的邊。 直角三角形中的斜邊與直角相對。 斜邊是三角形中最短的邊。 正弦 x 總是大於餘弦 x。 餘弦 x 總是大於正弦 x。 餘弦 x 總是 1 或更大。 圓的半徑 '$R$' 由 SOH-CAH-TOA 給出。餘弦 x 總是大於正弦 x。 單位圓的半徑始終為 1。 邊長為 4 米、5 米和 6 米的三角形與邊長為 4 釐米、5 釐米、6 釐米的三角形是 *全等* 的。 $1=\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )$ $\sin ^{2}(\theta )=1-\cos ^{2}(\theta )$ $\cos ^{2}(\theta )=1-\sin ^{2}(\theta )$