三角學/給愛好者/李薩如圖形

李薩如曲線

在示波器上的李薩如圖形

一個李薩如曲線是以下方程的圖形

$x=A\sin(at+\delta ),\quad y=B\sin(bt),$

其中$\displaystyle a,b,A,B$ 和 $\displaystyle \delta$ 是選定的值，並且 $\displaystyle t$ 變化。

a = 5, b = 4 (5:4)

這是我們在練習繪製 cos t vs sin t中繪製的圓的圖形的推廣。

事實上，如果我們設定

$\displaystyle a=1,b=1,A=1,B=1$ 以及 $\displaystyle \delta =\pi /2$

在李薩如曲線方程中，就可以得到圓。

檢查一下 不要只相信我們的說法，李薩如方程是圓方程的推廣。將這些值代入方程並化簡。利用你所知道的正弦和餘弦之間的關係。然後回答以下問題 隨著 $\displaystyle t$ 增加，以及這些$\displaystyle a,b,A,B$ 和 $\displaystyle \delta$ 的值，繪製的點是沿圓的相同方向還是與之前“單位圓”練習中的相反方向移動？

這組曲線由納撒尼爾·鮑迪奇在 1815 年研究，後來由朱爾斯·安託萬·李薩如在 1857 年更詳細地研究。

例子

以下是李薩如圖形的例子，所有圖形的 δ = 0。

• 
  a = 1, b = 2 (1:2)
• 
  a = 3, b = 2 (3:2)
• 
  a = 3, b = 4 (3:4)
• 
  a = 5, b = 4 (5:4)
• 
  a = 5, b = 6 (5:6)
• 
  a = 9, b = 8 (9:8)

圖形的外觀對比率 a/b 非常敏感。對於比率為 1 的情況，圖形是橢圓，特殊情況包括圓 (A = B, δ = π/2 弧度) 和直線 (δ = 0)。另一個簡單的李薩如圖形是拋物線 (a/b = 2, δ = π/2)。如果 δ = 0，曲線必須透過原點，因為在這種情況下，當 t = 0 時，x 和 y 都為 0。對於相同的 a/b 值，但不同的 δ 值，可能會出現截然不同的曲線。

檢查一下 自己嘗試一下直線。 你能使直線垂直嗎？

其他比率會產生更復雜的曲線，只有當 a/b 是有理數時，這些曲線才是封閉的。這些曲線的視覺形式通常讓人想起三維結，實際上，許多種結，包括被稱為李薩如結的結，投影到平面上的就是李薩如圖形。

對於 a = 1, b = N (N 是自然數) 和

$\delta ={\frac {N-1}{N}}{\frac {\pi }{2}}\$

的李薩如圖形是切比雪夫多項式的第一類，其次數為 N。

生成

在現代計算機圖形出現之前，李薩如曲線通常是用示波器生成的（如插圖所示）。將兩個相位移位的正弦波輸入訊號應用於示波器，在 X-Y 模式下，訊號之間的相位關係將以李薩如圖形的形式呈現。

在示波器上，我們假設 x 是 CH1，y 是 CH2，A 是 CH1 的幅度，B 是 CH2 的幅度，a 是 CH1 的頻率，b 是 CH2 的頻率，因此 a/b 是兩個通道頻率的比率，最後，δ 是 CH1 的相位移。

當 a = b 時的應用

當輸入到LTI 系統的是正弦波時，輸出將是具有相同頻率的正弦波，但幅度可能不同，並且存在相移。使用可以繪製一個訊號相對於另一個訊號（而不是一個訊號相對於時間）的示波器來繪製 LTI 系統的輸出相對於 LTI 系統的輸入，將產生一個橢圓，該橢圓是在特殊情況下a = b 的利薩如圖形。所得橢圓的偏心率是輸入和輸出之間相移的函式，偏心率為 1 對應於相移為 $\pm 90^{\circ }$，偏心率為 $\infty$ 對應於 0 或 180 度的相移。下圖總結了利薩如圖形如何在不同的相移下變化。箭頭顯示利薩如圖形的旋轉方向。

純相移會影響利薩如橢圓的偏心率。分析橢圓可以測量來自LTI 系統的相移。

利薩如圖形最早由納撒尼爾·鮑迪奇在 1815 年提到，並由朱爾斯·安託萬·利薩如在 1857 年重新發現。如果週期相等，曲線始終是橢圓。如果一個週期是另一個週期的兩倍，我們將得到一條四次曲線；一個特例是伯努利雙紐線。