三角函式/e 的 x 次方冪級數

複利

什麼函式滿足

f(x)=f'(x)

?

也就是說，對於什麼函式，增長率等於當前值？

這種增長率與當前值成正比的關係是複利的基礎關係。如果你正在獲得一筆資金的複利並重新投資收入，那麼你在固定時間內獲得的金額與你在這段時間開始時的資金金額成正比。如果你從 2 個單位開始，它會變成 4，然後是 8，然後是 16，然後是 32 等等。所以

f(x)=2^{x}

是一個很好的候選函式，它滿足微分方程？如果我們近似地評估在 $x=0$ 處的斜率，我們得到大約 0.69。像 $2^{x}$ 這樣的表示式看起來很有希望，但 2 的常數太小了。

如果我們改為嘗試

f(x)=3^{x}

我們發現零處的斜率大約為 1.09。3 的常數太大，但不是太大。如果要對某些數字 $k$ 使得 $f(x)=k^{x}$ 奏效，我們將希望該數字在 2 和 3 之間。我們並不是說這是可能的，只是它看起來是一個有希望的探索途徑。事實證明，確實存在一個有效的數字。

冪級數

我們可以嘗試一種完全不同的方法，就好像我們不知道將某個數字提高到 $x$ 的冪是一個好主意。

假設 $f(x)$ 可以表示為一個冪級數，用 $x,x^{2},x^{3},\dots$ 表示，也就是說

f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+\cdots

然後逐項求導，假設這一切都有意義，我們將得到

f'(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+4a_{4}x^{3}+5a_{5}x^{4}+\cdots

為了使微分關係成立，逐項比較對應係數，我們需要

a_{1}=a_{0},a_{2}={\frac {a_{1}}{2}},a_{3}={\frac {a_{2}}{3}},a_{4}={\frac {a_{3}}{4}},a_{5}={\frac {a_{4}}{5}}

如果我們令

a_{0}=1,a_{1}=1,a_{2}={\frac {1}{2!}},a_{3}={\frac {1}{3!}},a_{4}={\frac {1}{4!}},a_{5}={\frac {1}{5!}}

其中 $4!$ 是階乘函式，表示 $1\times 2\times 3\times 4$ ，其他值同理。

換句話說

f(x)=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots

我們現在需要檢查這個公式是否有意義。

收斂

主要問題是我們有一個無限和。像 $1+3+9+27+81+\cdots$ 這樣的和是無界的。即使是像 $1+1+1+1+1+\cdots$ 這樣的和也會給我們帶來問題。另一方面，有些和是可以的。如果我們看一下

1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{32}}+\cdots

我們可以看到這個和是良好的，如果我們繼續加下去，它會盡可能接近2。

讓我們在公式中令 $x=10$

f(x)=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots

乍一看這似乎不太妙。

f(10)=1+{\frac {10}{1!}}+{\frac {100}{2!}}+{\frac {1000}{3!}}+\cdots

f(10)=1+10+50+166.666+\cdots

這些項越來越大，我們似乎比 $1+1+1+1+1+\cdots$ 情況還要糟糕。

然而，我們太過草率了。雖然每一項的分子都是 $x^{n}$ ，分母是 $n!$ 。當我們向右移動一項時，分子乘以的倍數是 $x$ ，在本例中是 10。然而，當我們向右移動一項時，分母乘以的倍數是不斷增加的。當我們到達第 21 項時，我們有 $10^{20}$ 除以 $20!$ 。下一項的分子是前一項的 10 倍，分母是前一項的 21 倍。所以從第 22 項開始，每一項都小於前一項的一半！

當 $x=10$ 時，從第 22 項開始的所有項的總和不會趨於無窮大。事實上，該總和必須小於第 22 項的兩倍。如果我們也加上前 21 項，總和仍然不會趨於無窮大。

我們已經證明，如果我們將值 $x=10$ 代入方程，我們會得到一個有限的總和，並且該總和是有意義的。計算它可能需要一些工作，但我們可以透過在總和中走得足夠遠來無限接近它。如果總和趨於無窮大，就不會這樣。幾乎完全相同的論證適用於 $x=100$ 或我們選擇的任何其他正值，儘管對於更大的值，我們必須走得更遠，才能使項開始減半或更好。