三角函式/簡化 sin(x) + b cos(x)

考慮函式

$f(x)=a\sin(x)+b\cos(x)$

我們將證明這是一個正弦波

$f(x)=A\sin(x+\phi )$

並發現振幅為 $A={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$，相位為 $\phi =\arctan {\frac {b}{a}}$

為了簡化，我們假設 a 和 b 都是正數。這並非必要，在學習本節後，您可能想要思考如果 a 或 b 等於零或為負數會發生什麼。

幾何論證

待辦事項：新增圖表。

我們首先使用一個幾何論證，它實際上展示了一個更一般性的結果，即

$g(\theta )=a\sin(\theta +\lambda _{1})+b\sin(\theta +\lambda _{2})$

是一個正弦波。

透過設定 $\lambda _{1}=0^{\circ }\ ,\ \lambda _{2}=90^{\circ }$，它將遵循 $f(\theta )=a\sin(\theta )+b\cos(\theta )$ 是正弦的。

我們使用正弦的“單位圓”定義：$a\sin(\theta +\lambda _{1})$ 是從原點 O 到點 A，長度為 $a$，與 x 軸成 $\theta +\lambda _{1}$ 角的直線的 y 座標。

現在，我們畫一條長度為 $b$ 的線段 ${\overline {AB}}$，它與 x 軸平行線的夾角為 $\theta +\lambda _{2}$（其中該角相對於平行於 x 軸的直線測量）。點 $B$ 的 y 座標是點 $A$ 的 y 座標加上從 $A$ 到 $B$ 的垂直位移。換句話說，它的 y 座標是 $g(\theta )$。

然而，還有另一種看待點 $B$ 的 y 座標的方式。線段 ${\overline {OB}}$ 的長度不會隨著我們改變 $\theta$ 而改變——唯一發生的變化是三角形 $\Delta OBA$ 繞 O 點旋轉。特別地，${\overline {OB}}$ 繞 O 點旋轉。

因此，點 $B$ 的 y 座標是一個正弦函式（我們可以從前面提到的“單位圓”定義中看到這一點）。振幅是線段 ${\overline {OB}}$ 的長度，相位是 $\lambda _{1}+\angle BOA$。

代數論證

代數論證本質上是對幾何論證的洞察的代數翻譯。我們也處於一個特殊情況下，其中 $\lambda _{1}=0$ 且 $\angle OAB=90^{\circ }$。本節中使用的 x 和 y 現在不再是座標。'y' 將扮演 $\lambda _{1}+\angle BOA$ 的角色，而 'x' 扮演 $\theta$ 的角色。

我們透過 $\tan(y)={\frac {b}{a}}$ 定義角度 y。

透過考慮一個短邊長為 a 和 b 的直角三角形，您應該能夠看到

$\sin(y)={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ 且 $\cos(y)={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$。

檢查一下 檢查 $\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1$，如預期的那樣。

${\begin{aligned}f(x)&=a\sin(x)+b\cos(x)\\&={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\left({\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\sin(x)+{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\cos(x)\right)\\&={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{\Big (}\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y){\Big )}\\&={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+y)\\&=A\sin(x+\phi )\end{aligned}}$ ,

這（敲鼓聲）是一個振幅為 $A={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$，相位為 $\phi =y$ 的正弦波。

檢查一下 檢查公式中的每個步驟。 我們使用了什麼三角公式？

更一般的情況 你能為更一般的情況做完整的代數版本嗎？ $g(\theta )=a_{1}\sin(\theta +\lambda _{1})+a_{2}\sin(\theta +\lambda _{2})$ 使用幾何論證作為提示？這有點難，因為$\triangle OBC$ 不是直角三角形。 你還需要哪些額外的三角公式？