三角學/圓與三角形/內切圓

三角形的內切圓是唯一一個以三角形三邊為切線的圓。它是完全位於三角形內的最大圓。

它的圓心，即三角形的內心，位於三角形三個角的角平分線的交點。這可以透過以下方式解釋

• $\angle {ABC}$ 的角平分線是到直線 ${\overline {AB}}$ 和 ${\overline {BC}}$ 等距的點的集合。
• $\angle {ACB}$ 的角平分線是到直線 ${\overline {BC}}$ 和 ${\overline {AC}}$ 等距的點的集合。
• 兩條直線相交的點到 ${\overline {AB}}$ 和 ${\overline {BC}}$ 的距離相等，並且到 ${\overline {BC}}$ 和 ${\overline {AC}}$ 的距離也相等。因此，交點到 ${\overline {AB}}$ 的距離等於它到 ${\overline {BC}}$ 的距離，也等於它到 ${\overline {AC}}$ 的距離。因此，它位於 $\angle {BAC}$ 的角平分線上。
• 三條角平分線相交的點到 ${\overline {AB}}$，${\overline {BC}}$ 和 ${\overline {AC}}$ 的距離相等。因此，以該點為圓心可以作一個圓，與三條直線相切。

計算半徑

它的半徑，即 **內切圓半徑**（通常用 r 表示），由 r = K/s 給出，其中 K 是三角形的面積，s 是半周長（a+b+c)/2（a、b 和 c 是邊長）。為了證明這一點，請注意連線角與內心線的將三角形分成三個較小的三角形，底邊分別為 a、b 和 c，每個三角形的高度為 r。這三個三角形的總面積，即原始三角形的面積 K，為 ar/2 + br/2 + cr/2。整理一下，結果就出來了。

應用海倫公式，$r={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)/s}}$

如果三角形的 外接圓半徑 為 R，則 K$R={\frac {abc}{4}}$。將此與 r 的公式結合起來，$Rr={\frac {abc}{4s}}$.

內心到 A 的距離為 4Rsin(^B⁄₂)sin(^C⁄₂)，其他頂點也是如此。

外心和內心的距離平方為 R(R-2r)。因此，R > 2r，除非兩個圓心重合（這種情況只發生在等邊三角形中）。

半徑的另一種公式

設 I 為內心。考慮三角形 BIC。設 D 為內切圓與 BC 相切的點；∠IDB、∠IDC 為直角。

∠IBD = ^B⁄₂ 且 ∠ICD = ^C⁄₂。

BD = r cot(^B⁄₂)；CD = r cot(^C⁄₂)；BD+CD = BC = a。

$r\left(\cot \left({\frac {B}{2}}\right)+\cot \left({\frac {C}{2}}\right)\right)=a$

$r={{a} \over {\cot({\frac {B}{2}})+\cot({\frac {C}{2}})}}=a{{\sin({\frac {B}{2}})\sin({\frac {C}{2}})} \over {\cos({\frac {A}{2}})}}$

由對稱性，還有兩個分別涉及 b 和 c 的公式。

將 a = 2Rsin(A) 代入，可得

$r=4R\sin \left({\frac {A}{2}}\right)\sin \left({\frac {B}{2}}\right)\sin \left({\frac {C}{2}}\right)$.

^r⁄_R 因此對於等邊三角形等於 ¹⁄₂，並且可以證明對於任何其他三角形它都小於此值。

相等內切圓定理

考慮一條直線和該直線外的一個點 X。選擇點 A、B、C、D、E、F ... 使得三角形 XAB、XBC、XCD、XDE、XEF ... 的內切圓半徑相等。然後，三角形 XAC、XBD、XCE、XDF ... 的內切圓半徑將彼此相等（雖然大於 XAB 的內切圓半徑）。類似地，三角形 XAD、XBE、XCF ... 的內切圓半徑將彼此相等，依此類推。

另一個圓

角平分線與對邊相交於三個點。這三個點定義了一個圓，該圓通常會與每條邊相交兩次，從而定義圓的三個弦。（在等腰三角形中，底邊是圓的切線；在等邊三角形中，所有三條邊都是切線。）最長弦的長度等於另外兩條弦的長度之和。