三角學/勾股定理

在一個直角三角形中
斜邊的平方
等於
另外兩邊的平方和。

可汗學院

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可汗學院提供了與本主題相關的影片資料，您可能會發現這些資料更容易理解

• 勾股定理，介紹了定理本身。
• 勾股定理 II，提供了有關本主題的練習解題過程。

定理

直角三角形

在一個直角三角形中（直角三角形），最長的邊總是距離直角最遠的邊。它被稱為斜邊。斜邊的長度可以透過另外兩邊的長度計算得出。在圖中，c 是斜邊，我們可以透過a 和b 計算得出。

這是一個勾股定理或畢達哥拉斯定理的陳述 - 作為連線邊長a、b 和c 的方程式：

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

其中c 表示斜邊的長度，a 和b 表示另外兩邊的長度。

這僅適用於直角三角形！

對於直角三角形，其角點分別標記為 A、B、C，如下所示，以下表達意味著相同的內容

${\overline {BC}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}={\overline {AB}}^{2}$

我們只是對邊a、b 和c 使用了不同的符號。

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幾何解釋

勾股定理：兩條直角邊（a 和b）上正方形的面積之和等於斜邊（c）上正方形的面積。

我們也可以用圖示來展示這個方程式，如圖所示，直角三角形的每條邊都連線著一個正方形。這是勾股定理的幾何解釋，從面積的角度來看這個定理。較小的正方形的面積加起來等於較大正方形的面積。

從面積的角度來看，勾股定理說明

在任何直角三角形中，以斜邊為邊的正方形的面積（與直角相對的邊）等於以兩條直角邊為邊的正方形的面積之和。

關於勾股定理的兩種說法完全相同，因為正方形的面積就是邊長的平方。

定理的歷史

畢達哥拉斯，描繪在一枚公元 3 世紀的硬幣上

勾股定理以希臘數學家畢達哥拉斯的名字命名，傳統上他被認為發現了並證明了這個定理， 儘管人們經常爭論說對這個定理的認識早於他。有許多證據表明巴比倫數學家瞭解這個公式。

三個解題示例

在一個直角三角形中
斜邊的平方
等於
另外兩邊的平方和。

示例 1 勾股定理的常用示例是直角三角形，其中 $a=3$ 和 $b=4$，因為數字計算結果非常簡潔 ${\begin{matrix}a^{2}+b^{2}&=&\\3^{2}+4^{2}&=&\\9+16&=&25\end{matrix}}$ 所以 $c^{2}=25$ 和 $c={\sqrt {25}}$ 和 $c=5$

示例 2 另一個常用的例子是直角三角形，其中另外兩個角是 $45^{\circ }$，並且 $a=1$ 和 $b=1$。這次答案不是整數。 ${\begin{matrix}a^{2}+b^{2}&=&\\1^{2}+1^{2}&=&\\1+1&=&2\end{matrix}}$ 所以 $c^{2}=2$ 和 $c={\sqrt {2}}$ 我們可以停在這裡，也可以給出答案的小數形式。 $c\approx 1.414$ $\approx$ 符號表示“大約”。

示例 3 另一個例子是直角三角形，其中較短的邊是 $p=11$ 釐米和 $q=7$ 釐米。 關於 $p$ 和 $q$ 呢？我們用什麼字母來表示邊的長度並不重要，只要我們保持一致就行。藍色方框中的公式仍然適用。在這種情況下，我們可以將斜邊稱為 $r$，因此我們有 $p^{2}+q^{2}=r^{2}$。 ${\begin{matrix}p^{2}+q^{2}&=&\\11^{2}+7^{2}&=&\\121+49&=&170\end{matrix}}$ 所以 $r^{2}=170$ 和 $r={\sqrt {170}}$ 釐米 並給出答案的小數形式。 $r\approx 13.04$ 釐米 這個答案合理嗎？ 值得檢查一下答案是否合理。如果短邊是 11 釐米和 7 釐米，長邊大約是 13 釐米是否合理？是的，很合理。如果你得到 20 釐米（或 170 釐米）的答案，它將是不合理的。另外兩條邊不會延伸那麼遠。或者如果答案是 11 釐米或更小，你就會知道你沒有得到斜邊的長度，即最長的邊。這裡 13.04 釐米的答案是可以接受的，我們可能應該四捨五入到 13 釐米。

三維空間中

勾股定理在三維空間中將對角線 AD 與三條邊聯絡起來。

勾股定理可以應用於三維空間，方法如下。

考慮圖中所示的矩形體。矩形體底面上的對角線 BD 的長度可以用勾股定理求得，如下所示：

${\overline {BD}}^{2}={\overline {BC}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}$

其中這三條邊構成一個直角三角形。使用水平對角線 BD 和垂直邊 AB，對角線 AD 的長度可以透過第二次應用勾股定理求得，如下所示：

${\overline {AD}}^{2}={\overline {AB}}^{2}+{\overline {BD}}^{2}$

或者，一步到位：

${\overline {AD}}^{2}={\overline {AB}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}$

此結果是對角線 ${\overline {AD}}$ 關於三個相互垂直邊的三維表示式。

這個一步公式可以看作是勾股定理在更高維度的推廣。然而，這個結果實際上只是對原始勾股定理的重複應用。

卡夫拉金字塔

一個三維空間中的例子 卡夫拉金字塔；高 274 肘；底面為 412 x 412 肘 用於計算斜邊 AC 長度的線條和標籤 這個例子是在三維空間中的，我們又必須兩次使用勾股定理。 卡夫拉大金字塔高 274 肘。它有一個正方形底座，正方形邊長為 412 肘。從一個角到頂點的斜對角邊的長度是多少？ 要回答這個問題，我們分兩個階段進行。請看圖。 線 ${\overline {AO}}$ 是垂直的，線 ${\overline {OB}}$ 是水平的，因此存在一個直角三角形，其邊為 ${\overline {AO}}$ 和 ${\overline {OB}}$。這使我們能夠計算長度 ${\overline {AB}}$。 我們需要小心。 ${\overline {AO}}$ 是 274 肘，但 ${\overline {OB}}$ 是正方形邊長的一半，所以 ${\overline {OB}}$ 是 ${\tfrac {412}{2}}=206$ 肘。 三角形 $\triangle AOB$ 的斜邊 ${\overline {AB}}$ 的長度是多少？嗯， ${\begin{matrix}{\overline {AO}}^{2}+{\overline {OB}}^{2}&=&\\274^{2}+206^{2}&=&\\75,076+42,436&=&117,512\end{matrix}}$ 所以 ${\overline {AB}}^{2}=117,512$ 和 ${\overline {AB}}={\sqrt {117,512}}$ 肘 我們取得了進展，但我們需要 ${\overline {AC}}$ 的長度，而不是 ${\overline {AB}}$ 。 現在我們又有一個直角三角形，$\triangle ABC$ ，在 B 點有一個直角。我們需要 ${\overline {AC}}$ 的長度。我們剛剛計算了 ${\overline {AB}}$ ，我們知道，因為金字塔的底座是正方形，所以 ${\overline {BC}}$ 再次是 206 肘。這次 ${\overline {AC}}$ 是斜邊（$\triangle ABC$）。所以 $\displaystyle {\begin{matrix}{\overline {AB}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}&=&\\{\sqrt {117,512}}^{2}+206^{2}&=&\\117,512+42,436&=&159,948\end{matrix}}$ 所以 ${\overline {AC}}^{2}=159,948$ 和 ${\overline {AC}}={\sqrt {159,948}}$ 肘 ${\overline {AC}}\approx 400$ 肘

其他形式

如引言中所述，如果 *c* 表示斜邊的長度，*a* 和 *b* 表示其他兩邊的長度，則勾股定理可以表示為勾股方程

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

或者，解出 *c*

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

這就是我們在上面所有示例中所做的。我們正在使用較短的邊來計算斜邊的長度。

如果已知斜邊 *c*，並且必須找到其中一條邊的長度，則可以使用以下等式

$b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}$

或者

$a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}$

勾股方程提供了直角三角形三邊之間的簡單關係，因此，如果已知任意兩邊的長度，就可以找到第三邊的長度。

練習

一個立方體盒子用來運送印表機。如果一邊是 90 釐米，那麼盒子的兩個角之間的最長距離是多少？

一臺 LCD 電視螢幕從角到角測量為 26 英寸。螢幕高度為 13 英寸。螢幕有多寬？（精確到十分之一英寸）

此圖中，最長線的長度是多少？ 勾股定理再次出現 在此問題中，您可以假設所有看起來像直角的角都是直角。

來自四維空間的外星人正在將他們的全息電視包裝到一個盒子裡，準備前往地球。該盒子測量為 1.5 埃 by 1.5 埃 by 1.5 埃 by 1.5 埃（這是一個四維超立方體）。最長對角線的長度是多少？

如果一個房間長 17 英尺，寬 14 英尺，高 10 英尺，那麼（a）地板，（b）一端牆壁，以及（c）房間側牆的對角線的長度是多少？

找到缺失的邊（勾股數） 在這些示例中，您都被告知 三角形的三條邊都是整數。 三角形是直角三角形 您得到了兩條邊。 找到第三條邊。哪條邊是斜邊？ 您被告知的邊是 4,5，第三條邊是多少？ 您被告知的邊是 5,12，第三條邊是多少？ 您被告知的邊是 6,8，第三條邊是多少？ 您被告知的邊是 40,41，第三條邊是多少？

平方小數 $(-0.5)^{2}$ ? 在 -2 和 +2 之間的數字中，哪些數字平方後更靠近零？