三角學/有限級數求和

問題陳述

求以下級數的封閉形式：

$\sin(a)+\sin(a+b)+\sin(a+2b)+\cdots +\sin(a+(n-1)b)$

注意：'封閉形式'在數學上沒有明確定義，但它意味著一個簡化的公式，不包含 '...' 或求和符號。在我們的問題中，我們應該尋找一個只包含變數 $a,b,n$，以及已知運算，如四則運算、根式、指數、對數和三角函式的公式。

方法 1

為了求解以下級數：

$\sin(a)+\sin(a+b)+\sin(a+2b)+\cdots +\sin(a+(n-1)b)=S$

將每一項乘以

$2\sin \left({\tfrac {b}{2}}\right)$

然後我們得到

$2\sin(a)\sin \left({\tfrac {b}{2}}\right)=\cos \left(a-{\tfrac {b}{2}}\right)-\cos \left(a+{\tfrac {b}{2}}\right)$

類似地，對所有項都做類似的處理，得到

$2\sin {\bigl (}a+(n-1)b{\bigr )}\sin \left({\tfrac {b}{2}}\right)=\cos \left(a+(2n-3){\tfrac {b}{2}}\right)-\cos \left(a+(2n-1){\tfrac {b}{2}}\right)$

將所有項加起來，我們發現幾乎所有項都抵消了，只剩下

$2S\sin \left({\tfrac {b}{2}}\right)=\cos \left(a-{\tfrac {b}{2}}\right)-\cos \left(a+(2n-1){\tfrac {b}{2}}\right)=2\sin \left(a+(n-1){\tfrac {b}{2}}\right)\sin \left({\tfrac {nb}{2}}\right)$

因此

$S=\sin \left(a+(n-1){\tfrac {b}{2}}\right){\frac {\sin \left(n{\tfrac {b}{2}}\right)}{\sin \left({\tfrac {b}{2}}\right)}}$

類似地，如果

$C=\cos(a)+\cos(a+b)+\cos(a+2b)+\cdots +\cos {\bigl (}a+(n-1)b{\bigr )}$

那麼

$C=\cos \left(a+(n-1){\tfrac {b}{2}}\right){\frac {\sin \left(n{\tfrac {b}{2}}\right)}{\sin \left({\tfrac {b}{2}}\right)}}$

方法二

考慮以下總和

$s=e^{ai}+e^{(a+b)i}+\cdots +e^{(a+(n-1)b)i}$

由於 $s$ 是公比為 $e^{bi}$ 的等比數列，得到

$s={\frac {e^{ai}(e^{nbi}-1)}{e^{bi}-1}}={\frac {e^{ai}(e^{nbi}-1)}{e^{bi}-1}}={\frac {e^{ai}e^{\frac {nbi}{2}}(e^{\frac {nbi}{2}}-e^{-{\frac {nbi}{2}}})}{e^{\frac {bi}{2}}(e^{\frac {bi}{2}}-e^{-{\frac {bi}{2}}})}}$

$s={\frac {\sin \left(n{\tfrac {b}{2}}\right)}{\sin \left({\tfrac {b}{2}}\right)}}\cdot e^{\left(a+(n-1){\tfrac {b}{2}}\right)i}$

因此，

$\sin(a)+\sin(a+b)+\sin(a+2b)+\cdots +\sin {\bigl (}a+(n-1)b{\bigr )}={\rm {Im}}(s)=\sin \left(a+(n-1){\tfrac {b}{2}}\right){\frac {\sin \left(n{\tfrac {b}{2}}\right)}{\sin \left({\tfrac {b}{2}}\right)}}$

$\cos(a)+\cos(a+b)+\cos(a+2b)+\cdots +\cos {\bigl (}a+(n-1)b{\bigr )}={\rm {Re}}(s)=\cos \left(a+(n-1){\tfrac {b}{2}}\right){\frac {\sin \left(n{\tfrac {b}{2}}\right)}{\sin \left({\tfrac {b}{2}}\right)}}}$