三角學/圓與三角形/外心三角形

設 ABC 為一個三角形，其內心為 I，三個外心分別為 I_a、I_b 和 I_c。然後 I_aI_bI_c 是 ABC 的外心三角形。

A 位於 I_bI_c 線上，是從 I_a 到該線的垂線的垂足，B 和 C 同理。因此 ABC 是其外心三角形的垂足三角形（參見後面）。此外，這些垂線在 I 點相交，所以 I 是外心三角形的垂心。

I 和 I_a 位於角 BAC 的平分線上，其他外心同理。

四邊形 IBCI_a、IACI_b 和 IABI_c 是圓形的。

I_a 是三角形 I_bI_cI 的垂心，其他外心同理。

距離 II_a 為 4Rsin(^A⁄₂)，其他外心同理。

外心三角形的性質

這個三角形的角是 $90^{0}-{\frac {A}{2}},90^{0}-{\frac {B}{2}}{\text{ and }}90^{0}-{\frac {C}{2}}$.

它的邊是 $4R\cos \left({\frac {A}{2}}\right),4R\cos \left({\frac {B}{2}}\right),4R\cos \left({\frac {C}{2}}\right)$.

它的面積是 $8R^{2}\cos \left({\frac {A}{2}}\right)\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\cos \left({\frac {C}{2}}\right)=2Rs=\left({\frac {1}{2}}\right)\Delta {\text{cosec}}\left({\frac {A}{2}}\right){\text{cosec}}\left({\frac {B}{2}}\right){\text{cosec}}\left({\frac {C}{2}}\right)$

其中 Δ 是原始三角形的面積。

它的外接圓半徑是 2R。