三角函式/正弦加法公式

正弦公式

正弦加法公式如下所示

$\sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\beta )\cos(\alpha )$

這是一個重要的工具，它允許我們關聯不同大小角度的正弦和餘弦值。

在下一節中討論了餘弦的類似公式。

$\cos(\alpha +\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta )$

練習：$75^{\circ }$ 的正弦值 已知 $\sin(45^{\circ })={\frac {\sqrt {2}}{2}}$ $\cos(45^{\circ })={\frac {\sqrt {2}}{2}}$ $\sin(30^{\circ })=0.5$ $\cos(30^{\circ })={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ 使用正弦加法公式計算$\sin(75^{\circ })$ 答案：使用第一個公式 $\sin(45^{\circ }+30^{\circ })=\sin(45^{\circ })\cos(30^{\circ })+\sin(30^{\circ })\cos(45^{\circ })$ $\sin(45^{\circ }+30^{\circ })={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot 0.5$ $\sin(75^{\circ })={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$

練習：檢查練習示例 使用計算器檢查工作示例中的答案是否與正確值一致。

練習：$20^{\circ },30^{\circ },40^{\circ }$ 的正弦和餘弦 已知 $\sin(10^{\circ })\approx 0.1736$ 以及 $\cos(10^{\circ })\approx 0.9848$ 使用公式計算$20^{\circ },30^{\circ },40^{\circ }$ 的正弦和餘弦。 使用計算器直接計算正弦和餘弦，檢查您的答案是否與給定的值一致。

加法公式非常有用。

以下是對正弦加法公式的幾何證明。該證明也展示了人們如何發現它。

證明

我們要證明

$\sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\beta )\cos(\alpha )$

關於圖形

首先，關於證明中使用的圖形說幾句話。您是如何想到這樣一個圖形的？

好吧，

• 我們需要一個包含直角三角形的圖形，我們需要展示一個$(\alpha +\beta )$ 的角度，因此必須有 $\triangle ABC$ 。
• 我們想要用兩個直角三角形的長度來表示該三角形的長度，其中一個角度為$\alpha$ ，另一個角度為$\beta$ ，因此新增像$E$ 和$F$ 這樣的點至關重要。
• 完成了這些步驟後，我們就可以開始嘗試解決問題，我們會發現自己在計算距離${\overline {BC}}$ 時遇到了問題。這就是我們為什麼要將${\overline {BC}}$ 拆分為${\overline {BD}}$ 和${\overline {DC}}$ 的原因。我們可以計算距離${\overline {DC}}$ 。它與${\overline {EF}}$ 的長度相同。此外，我們可以使用 Soh-Cah-Toa 計算距離${\overline {BD}}$ 。

請注意，我們選擇的圖表本身並沒有什麼特別之處。例如，可以計算 $\sin(\alpha +\beta )$，其中直角三角形 $\triangle ABE$ 的直角在 $B$ 而不是 $E$。您可以嘗試一下。

我們選擇這個圖表和字母的原因是，它與 **可汗學院** 關於證明正弦加法公式的影片中使用的圖表和字母完全相同，因此如果您對這裡提供的證明有困難，您可以在影片中進行學習。

影片連結

可汗學院上有一個證明影片，可能更容易理解。

• 證明：sin(a+b) = (cos a)(sin b) + (sin a)(cos b)

證明

首先檢查 $\angle DBE$ 是否真的與 $\angle FAE$ 相同。這對於證明很重要。我們只使用三角形內角和為 180° 的事實來進行檢查，並注意到我們知道 90 度角。

現在給出 $\sin(\alpha +\beta )$ 的表示式。這裡我們使用 SOH-CAH-TOA。我們將大量使用 SOH-CAH-TOA。

$\sin(\alpha +\beta )={\frac {BC}{AB}}$

觀察圖表，我們可以用 ${\overline {BD}}+{\overline {DC}}$ 代替 ${\overline {BC}}$，我們還有 ${\overline {DC}}={\overline {EF}}$，所以

$\sin(\alpha +\beta )={\frac {BD+DC}{AB}}={\frac {BD+EF}{AB}}={\frac {BD}{AB}}+{\frac {EF}{AB}}$

讓我們用另一種方法表示 ${\overline {BD}}$ 和 ${\overline {EF}}$。您需要觀察圖表以瞭解我們使用的是哪些三角形。

表示 ${\overline {BD}}$ 的表示式 ${\overline {BD}}={\overline {BE}}\cos(\alpha )$ 並且 ${\overline {BE}}={\overline {AB}}\sin(\beta )$ 所以 ${\overline {BD}}={\overline {AB}}\sin(\beta )\cos(\alpha )$

對於 $\displaystyle {\overline {EF}}$ 的表示式為 ${\overline {EF}}={\overline {AE}}\sin(\alpha )$ 並且 ${\overline {AE}}={\overline {AB}}\cos(\beta )$ 所以 ${\overline {EF}}={\overline {AB}}\sin(\alpha )\cos(\beta )$

綜合起來

$\sin(\alpha +\beta )={\frac {BD}{AB}}+{\frac {EF}{AB}}={\frac {{\overline {AB}}\sin(\beta )\cos(\alpha )}{\overline {AB}}}+{\frac {{\overline {AB}}\sin(\alpha )\cos(\beta )}{\overline {AB}}}$

${\overline {AB}}$ 被抵消了。

$\sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\beta )\cos(\alpha )$

我們完成了!

練習

練習：將其中一邊設為'1' 在繪製圖形時，我們沒有指定其大小。這意味著我們可以選擇將其中一邊設定為我們喜歡的任何長度。我們只需對一條邊進行此操作即可。一旦我們完成了，所有其他邊的長度就都確定了。將一個長度固定為一個方便的值可以縮短證明過程。 所以，讓我們決定 $AB$ 為 1 公里。實際上，我們不會擔心單位是公里、米還是釐米，只需寫 '1' 即可。 $\triangle ABE$ 是一個直角三角形，並且 ${\overline {AE}}={\overline {AB}}\cos(\beta )=\cos(\beta )$ 您的任務是簡化整個加法公式證明，方法是將諸如 ${\overline {AE}}$ 之類的長度替換為實際值，假設我們已設定 ${\overline {AB}}=1$ 。您實際上是從證明中刪除了 ${\overline {AB}}$ 以及乘除以 ${\overline {AB}}$ 。證明應該變得更短、更清晰。您還應該在圖上標記長度，假設 ${\overline {AB}}=1$ 。

練習：使用不同的圖 再次閱讀描述“關於圖”中關於如何構建圖的內容。建立您自己的圖，該圖與顯示的圖不同，直角位於顯示的圖中的不同位置，並使用該圖進行證明。 提示：如果您發現自己添加了許多線和許多額外的點，那麼您可能使證明比必要的複雜得多。您只需要新增足夠的線來能夠“追逐”長度從一個地方到另一個地方。一旦您獲得了三個基本三角形，一條額外的線就足夠了。