三角學/為愛好者/正多邊形

正多邊形是指所有邊長相等且所有角都相等的圖形。多邊形可以有任意數量（三條或更多）的邊，因此存在無限多種不同的正多邊形。

正多邊形的內角

為了證明可以繪製一個正方形，使得它的四個角都在一個圓的圓周上：繪製一個正方形，然後繪製它的對角線，將它們交叉的點稱為正方形的中心。正方形的中心（由於對稱性）距離每個角的距離都相同。因此，可以繪製一個以正方形的中心為中心，並且經過正方形角點的圓。

類似的論證可以用來求任何正多邊形的內角。考慮一個有n條邊的多邊形。它將有 n 個角，可以透過這些角繪製一個圓。從每個角到圓心畫一條線，這樣就會在圓心處形成 n 個頂角相等的等腰三角形，每個三角形的頂角必須為 2π/n 弧度。每個三角形都是等腰三角形，因此它的其他兩個角相等，並且它們的和為 π - 2π/n 弧度，即每個其他角為 (π - 2π/n)/2 弧度。多邊形的每個角被分成兩個，形成其中一個其他角，因此多邊形的每個角為 2*(π - 2π/n)/2 弧度，即 π - 2π/n 弧度。

這個公式預測，正方形（其中邊數 n 為 4）的內角為 π - 2π/4 = π - π/2 = π/2 弧度，這與上面的計算結果一致。

同樣，等邊三角形（有 3 條相等的邊）的內角為 π - 2π/3 = π/3 弧度。

六邊形的內角為 π - 2π/6 = 4π/6 = 2π/3 弧度，是等邊三角形內角的兩倍：因此，透過上述分割過程，六邊形被分割成等邊三角形。