三角學/正弦波形

三角多項式

我們首先考慮 **三角多項式**。 這些函式是不同正弦和餘弦函式的總和。 例如

$f(x)=5+3\cos(x)+2\sin(2x)-5\cos(4x)$

是一個三角多項式。 一般來說，三角多項式具有以下形式

$A_{0}+\sum _{n=1}^{N}{\bigl [}A_{n}\cos(nx)+B_{n}\sin(nx){\bigr ]}$

實際上，這裡潛在的想法與普通多項式沒什麼不同。 我們正在形成對我們熟知的函式的線性組合。 使用普通多項式，函式是 $x^{n}$，其中 $n=0,1,2,3,\dots$。 這裡的函式是 $\cos(nx)$ 或 $\sin(nx)$，其中 $n=0,1,2,3,\dots$

例項 我們可以而且將會定義三角多項式的次數，並討論它們的各種性質，但在我們深入研究之前，注意到哪些函式可以寫成三角多項式可能很有趣。 例如，考慮 $f(x)=\cos(3x)\sin(5x)$ 乍一看它不像三角多項式，但如果我們使用角和公式來計算 ${\frac {\sin(5x+3x)-\sin(5x-3x)}{2}}$，我們會發現它是 $f(x)=\cos(3x)\sin(5x)={\frac {\sin(8x)-\sin(2x)}{2}}$

練習：另一種方法？ $\sum _{n=0}^{N}{\bigl [}A_{n}\cos(nx)+B_{n}\sin(nx){\bigr ]}$ 看看上面三角多項式的公式。 它是否包含相同的函式？

練習：三角多項式 表達 $\sin ^{2}(x)$ 作為關於 $x$ 的三角多項式

練習：組合三角多項式 如果 $g(x)$ 是一個普通的代數多項式，那麼 $g(x)^{2}$ 也是一個代數多項式， $g{\bigl (}g(x){\bigr )}$ 也是。這種說法對三角多項式是否也適用呢？

除了角的和公式，我們還有另一個非常有用的工具。在許多令人驚歎的三角函式屬性中，$\sin(x)$ 和 $cos(x)$ 是所謂的正交性關係。這些是關於積分的以下結果：

$\int \limits _{-\pi }^{\pi }\sin(nx)\sin(mx)dx={\begin{cases}0&{\text{if }}n\neq m\\2\pi &{\text{if }}n=m\end{cases}}$

類似地，

$\int \limits _{-\pi }^{\pi }\cos(nx)\cos(mx)dx={\begin{cases}0&{\text{if }}n\neq m\\2\pi &{\text{if }}n=m\end{cases}}$

$\int \limits _{-\pi }^{\pi }\cos(nx)\sin(mx)dx=0\quad {\text{for all }}n{\text{ and }}m.$

待辦事項：使用對稱性繪製圖形來展示非正式論證，以說明為什麼這樣。

例如，以我們開始時用到的函式為例， $f(x)=5+3\cos(x)+2\sin(2x)-5\cos(4x)$，我們可以計算

${\begin{aligned}&{\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(x)dx\\&={\frac {5}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\cos(x)dx+{\frac {3}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\cos ^{2}(x)dx+{\frac {2}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\sin(x)\cos(x)dx-{\frac {5}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\cos(x)\cos(4x)dx\\&=0+{\frac {3}{\pi }}\cdot \pi +0+0=3\end{aligned}}$

注意最後一行遵循我們上面計算的積分。這意味著我們可以使用積分來確定三角多項式的係數。這是一個有趣的想法，因為並非所有三角多項式乍一看都是三角多項式。問題變成了我們如何知道什麼時候停止計算三角多項式的係數？我們如何知道我們是否找到了所有係數？一個答案可能是比較圖形。我們首先證明，當我們知道要走多遠時，這個想法可以用在這種情況中，例如讓

$f(x)=5+3\cos(x)+2\sin(2x)-\sin(3x)-{\tfrac {1}{8}}\cos(4x)$

然後數值計算 $A_{n}$ 和 $B_{m}$ 的積分。我們可以從圖中看到我們何時計算了所有係數，如下面的動畫所示。

讓我們嘗試另一個我們不知道三角多項式階數的例子。函式 $f(x)=5\sin(x)\cos ^{2}(2x)+\sin ^{14}(12x)$ 可以寫成三角多項式，我們積分求係數並透過檢視圖形來判斷何時完成的過程可以使用，下面是動畫演示。

注意，對於這個特定函式，要決定何時結束需要相當長的時間。事實證明，我們必須一直到 **N=48** 才能找到所有係數。這看起來可能是個問題，特別是如果我們不小心從一個不是三角多項式的函式開始。

為了看看會發生什麼，讓我們假設我們從一個方波開始，也就是說，我們讓

$f(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}0\leq x\leq \pi \\-1&{\text{if }}-\pi <x<1\end{cases}}$

並且 $f(x)$ 被定義為週期為 $2\pi$ 的週期函式，即我們定義 $f(x+2\pi )=f(x)$。如果我們在 $f(x)$ 上使用我們的過程，那麼我們很快就會發現它似乎永遠不會停止，如動畫所示

此動畫顯示，當我們在三角多項式中增加項數時，我們永遠無法完全達到原始函式。另一方面，我們越來越接近，尤其是在遠離$x=-\pi ,0,\pi$ 的地方。

有了這樣的動機，我們可以提出一個大膽的問題：如果我們讓項數趨於無窮，三角多項式是否會收斂到方波？這就是傅立葉級數研究的起點。