三角學/複變函式

三角函式可以定義為復變數以及實變數。

一種方法是使用 sin(x) 和 cos(x) 的冪級數，它們對所有實數和複數收斂。然而，一個更簡單的過程是使用上一節中的恆等式

• cos(i x) = cosh(x)
• sin(i x) = i sinh(x)
• tan(i x) = i tanh(x)

任何複數 z 可以寫成 z = x+iy，其中 x 和 y 為實數。然後我們有

sin(z) = sin(x+iy) = sin(x)cos(iy) + cos(x)sin(iy) = sin(x)cosh(y) + icos(x)sinh(y)

cos(z) = cos(x+iy) = cos(x)cos(iy) - sin(x)sin(iy) = cos(x)cosh(y) - isin(x)sinh(y)

這些函式可以取任何實數或複數值，無論其大小。儘管如此，它們仍然滿足

sin²(x) + cos²(x) = 1

此外，很容易證明所有結果，如 sin(z+2π)=sin(z) 和 sin(-z)=-sin(z) 仍然成立。

顯然，如果 y=0，則 sin(z) 和 cos(z) 為實數，因此 z 為實數。否則，如果 cos(x)=0，則 sin(z) 為實數；如果 sin(x)=0，則 cos(z) 為實數。

由於 cosh(y) 永遠不為零，而 sin(x) 和 cos(x) 永遠不會同時為零，因此 sin(z) 和 cos(z) 除實數軸上的零點外沒有其他零點。

$\tan(z)=\tan(x+iy)={\frac {\tan(x)+\tan(iy)}{1-\tan(x)\tan(iy)}}={\frac {\tan(x)+i\tanh(y)}{1-i\tan(x)\tanh(y)}}$